师：同学们，大家好！今天这节课我们一起来学习初中数学北师大版九年级下册第二章2.2二次函数的图像与性质第四课时。首先，我们来复习前面所学的知识。
前面几节课我们学习了形如(y = ax2)、(y = a(x - h)2 + k)它们的图像和性质。其中开口方向，当(a＞0)，开口向上；(a＜0)，开口向下。增减性方面，(a＞0)时，在对称轴左侧，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，(y)随(x)的增大而增大。(a＜0)时，在对称轴左侧，(y)随(x)增大而增大；在对称轴右侧，(y)随(x)的增大而减小。对称轴上，(y = ax2)对称轴是直线(x = 0)，即(y)轴，顶点坐标((0,0))；(y = ax2 + k)对称轴是直线(x = 0)，顶点坐标((0,k))；(y = a(x - h)2)对称轴是直线(x = h)，顶点坐标((h,0))；(y = a(x - h)2 + k)对称轴是直线(x = h)，顶点坐标((h,k))。
接下来复习完全平方公式，((a + b)2 = a2 + 2ab + b2)，其中(a)、(b)可以是单项式、多项式、数字，也可以是字母。我们完成以下五道小题：
第一题，(x2 + 8x)加谁能等于一个式子完全平方的形式？首先观察，一次项是(8x)，一次项系数是(8)，(8)的一半是(4)，(4)的平方是(16)，所以(x2 + 8x + 16 = (x + 4)2)。
第二题，(x2 - 5x)加谁能等于一个式子完全平方的形式？一次项是(-5x)，系数是(-5)，(-5)的一半是(-2.5)，(-2.5)的平方是(6.25)，所以(x2 - 5x + 6.25 = (x - 2.5)2)。
第三题，(x2 - 18x)加谁能等于一个式子完全平方的形式？一次项是(-18x)，系数是(-18)，(-18)的一半是(-9)，(-9)的平方是(81)，所以(x2 - 18x + 81 = (x - 9)2)。
第四题，(x2 + \frac{3}{4}x)加谁能等于一个式子完全平方的形式？一次项是(\frac{3}{4}x)，系数是(\frac{3}{4})，(\frac{3}{4})的一半是(\frac{3}{8})，(\frac{3}{8})的平方是(\frac{9}{64})，所以(x2 + \frac{3}{4}x + \frac{9}{64} = (x + \frac{3}{8})2)。
第五题，(x2 + Bx)加谁能等于一个式子完全平方的形式？一次项是(Bx)，系数是(B)，(B)的一半是(\frac{B}{2})，(\frac{B}{2})的平方是(\frac{B2}{4})，所以(x2 + Bx + \frac{B2}{4} = (x + \frac{B}{2})2)。
通过以上(5)道小题，我们发现，当二次项系数为(1)时，左边配上一次项系数一半的平方，就可以将一个二次三项式转化成一个式子完全平方的形式，注意二次项的系数要为(1)。
有了以上知识储备，我们一起来研究二次函数(y = ax2 + Bx + c)的图像和性质。我们已经认识了形如(y = a(x - h)2 + k)的二次函数的图像和性质，能否利用这些知识来讨论(y = 2x2 - 4x + 5)的图像和性质呢？同学们思考一下。
那么怎样将(y = 2x2 - 4x + 5)化成(y = a(x - h)2 + k)的形式？我们可以联想配方法，类比一元二次方程的解法，提出二次项的系数。注意二次项的系数不是(1)，将括号内配成完全平方的形式，最后化成顶点式。这种方法我们把它叫做配方法，可以将它进行转化。我们将配方后的表达式通常称为配方式或者顶点式。
通过上面的分析，我们可以将二次函数(y = 2x2 - 4x + 5)，二次项提出系数(2)，要把二次函数一般式转化为顶点式，和后面的常数没有太大联系，所以只提取前面二次项和一次项的系数，即(2(x2 - 2x) + 5)，加上一次项系数一半的平方加(1)，再减去一次项系数一半的平方减(1)，等于(2(x2 - 2x + 1 - 1) + 5)，利用代数式的恒等变形，将这个式子化简，就等于(2(x2 - 2x + 1) - 2 + 5 = 2(x - 1)2 + 3)，所以对称轴是直线(x = 1)，顶点坐标为((1,3))。注意二次项的系数不是(1)。
同学们请观看例(1)，求二次函数(y = 2x2 - 8x + 7)图像的对称轴和顶点坐标。我们提出二次项的系数(2)，(y = 2(x2 - 4x) + 7 = 2(x2 - 4x + 4 - 4) + 7 = 2(x2 - 4x + 4) - 8 + 7)，将前三项进行结合，后面的(-4)与(2)相乘得(-8)，就等于(2(x - 2)2 - 1)。所以对称轴是(x = 2)，顶点坐标为((2,-1))。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。下面我们用配方法确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标。
第一题，(y = 2x2 - 12x + 3)，提出二次项的系数(2)，(y = 2(x2 - 6x) + 3 = 2(x2 - 6x + 9 - 9) + 3 = 2(x - 3)2 - 18 + 3 = 2(x - 3)2 - 15)，所以对称轴是直线(x = 3)，顶点坐标为((3,-15))。
第二题，观察二次项的系数是负数，提出二次项系数(-5)时，要注意后面一次项系数符号的变化，(y = -5(x2 - \frac{16}{5}x) - 319 = -5(x2 - \frac{16}{5}x + 64 - 64) - 319 = -5(x - 8)2 + 320 - 319 = -5(x - 8)2 + 1)，所以对称轴是直线(x = 8)，顶点坐标是((8,1))。
通过上面的练习，我们知道对于一个二次函数，各项系数是数字的，如何找出对称轴和顶点坐标。假如各项系数换成字母形式，如何找出它们的对称轴和顶点坐标？请同学们观看例(2)，求二次函数(y = ax2 + Bx + c)图像的对称轴和顶点坐标。同样的道理，我们把二次函数(y = ax2 + Bx + c)右边进行配方，提出二次项的系数(a)，得到(a(x2 + \frac{b}{a}x) + c = a[(x2 + 2×\frac{b}{2a}x + (\frac{b}{2a})2 - (\frac{b}{2a})2)] + c)，通过计算整理化简得(a(x + \frac{b}{2a})2 + \frac{4ac - b2}{4a})。因此二次函数(y = ax2 + Bx + c)图像的顶点坐标是((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b2}{4a}))，对称轴是直线(x = -\frac{b}{2a})，这个结果通常称为顶点坐标公式。
下面我们用描点法画二次函数(y = 2x2 - 4x + 5)的图像，我们以自变量的取值为横坐标，相应的因变量的取值为纵坐标，通过列表、描点、连线得出函数图像。观察图像可知，二次函数(y = 2x2 - 4x + 5)的图像开口向上，对称轴是直线(x = 1)，顶点坐标是((1,3))，顶点是最低点。在对称轴左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴右侧，抛物线从左到右上升，即当(x＜1)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x＞1)时，(y)随(x)的增大而增大。当(x = 1)时，(y)有最小值(3)。当(x = 1)左右对称取值时对应的函数值相等。下面我们再来研究二次函数(y = 2x2 - 8x + 7)的图像。