师：同学们好，我们所要学习的内容是初中数学北师大版九年级下册第二章第二节二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$图像与性质。请同学们准备好学习任务单和作图用具，开启本节课的学习之旅。
先看本节课的学习目标：一、会画二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$图像；二、掌握二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$性质并会应用；三、比较二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$的联系。
上节课我们学习了二次函数$y = x2$和$y = -x2$的图像画法以及性质，大家能回忆出它们的性质有哪些吗？二次函数$y = x2$和$y = -x2$，它们的对称轴都是$y$轴，顶点都是坐标原点$(0,0)$。$y = x2$开口向上，位于$x$轴上方；$y = -x2$开口向下，位于$x$轴下方。
从增减性来看，$y = x2$开口向上，在对称轴左侧，图像从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，图像从左到右上升，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而增大。$y = -x2$在对称轴左侧，图像从左到右上升，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，图像从左到右下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
从最值方面，$y = x2$开口向上有最低点，即$x = 0$时，$y$有最小值为$0$；$y = -x2$图像开口向下有最高点，即$x = 0$时，$y$有最大值为$0$。大家说对了吗？今天我们继续学习二次函数的图像画法和性质。请在坐标系中画出$y = 2x2$的图像。
我们知道画函数的图像一般经历三个步骤：一、列表。由于互为相反数的两个数的平方相等，所以在$x$的取值上一般选取互为相反的数，特殊的$0$的相反数为$0$。所以自变量$x$的值从左到右、从小到大分别为$-1.5$、$-1$、$-0.5$、$0$、$0.5$、$1$、$1.5$，分别求出相应的函数$y$值从左到右分别为$4.5$、$2$、$0.5$、$0$、$0.5$、$2$、$4.5$。
二、描点。以刚才表格中的自变量$x$的值为点的横坐标，对应的$y$值为点的纵坐标，分别在平面直角坐标系中依次描出。
三、连线。用平滑的曲线把各点从左到右依次连接，如图，绿色曲线即为二次函数$y = 2x2$的图像。请同学们类比二次函数$y = x2$的性质特点，观察二次函数$y = 2x2$的图像。
生：通过观察图像，我们得出二次函数$y = 2x2$的图像是一条抛物线，并且开口向上。图像关于$y$轴对称，即$y$轴或直线$x = 0$是它的对称轴。它的顶点坐标即是坐标原点$(0,0)$。由于抛物线的开口向上，所以图像有最低点，即$x = 0$时，$y$有最小值为$0$。在对称轴左侧，图像从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，图像从左到右上升，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而增大。
师：非常好。请你按下暂停键，类比二次函数$y = 2x2$的图像画法，在平面直角坐标系中画出二次函数$y = -2x2$的图像。观察图像，回答刚才的几个问题，并比较二次函数$y = 2x2$和$y = -2x2$的图像有什么相同点和不同点？
生：如图，绿色抛物线即为二次函数$y = -2x2$的图像。通过观察图像我们可以得出，二次函数$y = -2x2$的图像也是一条抛物线，并且开口向下。图像仍然关于$y$轴对称，即$y$轴或直线$x = 0$就是它的对称轴。它的顶点坐标记为坐标原点$(0,0)$。由于抛物线的开口向下，所以有最高点，即$x = 0$时，$y$有最大值为$0$。在对称轴左侧，图像从左到右上升，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，图像从左到右下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
师：很好。通过同学们观察图像，我们归纳出二次函数$y = ax2$的性质：当$a > 0$时，图像开口向上，位于$x$轴的上方；当$a < 0$时，图像开口向下，位于$x$轴的下方。它们的对称轴都是$y$轴，也是直线$x = 0$。它们的顶点都是坐标原点$(0,0)$。不同的是，$a > 0$时，图像有最低点，即$x = 0$时，函数$y$有最小值为$0$；$a < 0$时，图像有最高点，即$x = 0$时函数$y$有最大值为$0$。
从增减性来看，$a > 0$时，抛物线的开口向上，在对称轴左侧，图像从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，图像从左到右上升，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而增大。$a < 0$时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，图像从左到右上升，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，图像从左到右下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。大家掌握了吗？下面请同学们利用今天所学解决如下问题，看看你们想得和我想得一不一样。
这三道题考察的都是二次函数$y = ax2$的性质。第一题，二次函数$y = 4x2$，二次项系数$a = 4 > 0$，所以开口向上，对称轴是$y$轴或直线$x = 0$，顶点是坐标原点$(0,0)$。在函数$y = -3x2$中，由于二次项系数$a = -3 < 0$，所以开口向下，对称轴仍是$y$轴或直线$x = 0$，顶点是坐标原点，顶点是该抛物线的最高点。在二次函数$y = x2$的图像中，由于二次项系数$a = 1 > 0$，所以图像的开口向上，对称轴仍是$y$轴或直线$x = 0$，顶点仍是坐标原点$(0,0)$，顶点是抛物线的最低点。
大家做对了吗？请同学们按照描点法继续在平面直角坐标系中画出二次函数$y = \frac{1}{2}x2$、$y = x2$和$y = 2x2$的图像，观察其开口大小与$a$的绝对值有什么关系？
生：如图，开口最大的蓝色抛物线是$y = \frac{1}{2}x2$的图像，黑色抛物线是$y = x2$的图像，绿色抛物线是$y = 2x2$的图像。它们的二次项系数$a$的绝对值分别为$\frac{1}{2}$、$1$、$2$逐渐变大，而它们的抛物线的开口却越来越小。
师：所以当$a > 0$时，$a$的绝对值越大，开口越小。那么$a < 0$是什么情况呢？我们在坐标系中继续画出二次函数$y = -\frac{1}{2}x2$，$y = -x2$和$y = -2x2$的图像，观察其开口大小与$a$的绝对值有什么关系。
生：我们观察图像发现，蓝色抛物线是$y = -\frac{1}{2}x2$的图像，黑色抛物线是$y = -x2$的图像，绿色抛物线是$y = -2x2$的图像。它们二次项系数的绝对值分别为$\frac{1}{2}$、$1$、$2$逐渐变大，而它们的开口却越来越小。
师：所以当$a < 0$时，$a$的绝对值越大，开口越小。由此我们可以得出，在二次函数$y = ax2$中，$a$的绝对值越大，开口越小。请你利用刚才的结论完成针对练习，看看和老师的答案一不一样。
生：通过观察，我们发现$1$、$3$两条抛物线开口向上，所以它对应的二次项的系数$a > 0$。由于$3$号抛物线的开口较小，对应的二次项系数就越大，所以$y = 3x2$的图像是$3$号抛物线，$1$号抛物线的开口较大，对应的二次项系数就越小，所以$y = \frac{1}{3}x2$的图像是$1$号抛物线。
我们接着观察$2$、$4$两条抛物线，发现开口向下，所以它对应的二次项系数小于$0$。由于$4$号抛物线的开口较小，它对应的二次项系数的绝对值就较大，所以$y = -x2$的图像是$4$号抛物线，$y = -\frac{3}{4}x2$的图像是$2$号抛物线。
师：有了前面的知识铺垫，相信同学们已经很好地掌握了二次函数图像的画法。现在请你用描点法在平面直角坐标系中画出二次函数$y = 2x2 + 1$和$y = 2x2 - 1$的图像。仍然分为三个步骤：一、列表，自变量$x$的取值还是选取互为相反的一些数据，如图，分别求出对应的函数$y$值。
二、描点，把表格中自变量$x$的值作为点的横坐标，对应的函数$y$值作为点的纵坐标，在坐标系中依次描出。
三、连线，用平滑的曲线把各点从左到右依次连接。如图，蓝色的抛物线是$y = 2x2 + 1$的图像，红色的抛物线是$y = 2x2 - 1$的图像，中间是抛物线$y = 2x2$的图像。追问抛物线$y = 2x2 + 1$，$y = 2x2 - 1$与抛物线$y = 2x2$有什么关系？我们已经知道在抛物线中，$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。这三条抛物线二次项系数相同，意味着它们的开口大小相同。除此以外，还有什么关系呢？请同学们思考。
生：我们观察表格，当自变量$x = -2$时，$y = 2x2 + 1 = 9$，$y = 2x2 = 8$。由于自变量相同，我们可以把点$(-2,8)$向上平移一个单位，得到点$(-2,9)$。当自变量$x = -1.5$时，$y = 2x2 + 1 = 5.5$，$y = 2x2 = 4.5$。自变量相同，我们可以把点$(-1.5,4.5)$向上平移一个单位，得到$(-1.5,5.5)$。类似的，我们可以把点$(-1,2)$、$(0,0)$、$(1,2)$、$(1.5,4.5)$、$(2,8)$分别向上平移一个单位，得到$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,3)$、$(1.5,5.5)$、$(2,9)$这些点。由于$(-2,8)$、$(-1.5,4.5)$、$(-1,2)$、$(0,0)$、$(1,2)$、$(1.5,4.5)$、$(2,8)$这些点都在二次函数$y = 2x2$的图像上，$(-2,9)$、$(-1.5,5.5)$、$(-1,3)$、$(0,1)$、$(1,3)$、$(1.5,5.5)$、$(2,9)$这些点都在二次函数$y = 2x2 + 1$的图像上，所以我们可以把二次函数$y = 2x2$的图像向上平移一个单位，得到二次函数$y = 2x2 + 1$的图像。
类似的，我们可以把$2x2$向下平移一个单位，得到$y = 2x2 - 1$的图像。
师：由此我们得出二次函数$y = ax2$与$y = ax2 + c$图像关系。二次函数$y = ax2 + c$图像可以由$y = ax2$的图像得到。当$c > 0$时，向上平移$c$个单位；当$c < 0$时，向下平移$|c|$个单位。平移的规律，开口方向不变，常数项上加下减。了解了二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$联系，我们一起观察二次函数$y = 2x2 + 1$和$y = 2x2 - 1$的图像，看看它们的性质和$y = ax2$的图像性质有什么相同和不同之处？
生：从图像中我们可以看到，它们的开口都是向上，$y = 2x2 + 1$的顶点坐标为$(0,1)$，$y = 2x2 - 1$的坐标为$(0, -1)$。它们的对称轴都是$y$轴。
追问抛物线$y = 2x2 + 1$、$y = 2x2 - 1$的增减性又如何呢？从图像中我们可以看出，在对称轴左侧，图像都是从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，图像都是从左到右上升，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而增大。不同的地方是，当$x = 0$时，$y = 2x2 + 1$有最小值为$1$，当$x = 0$时，$y = 2x2 - 1$有最小值为$-1$。
师：如果二次函数的二次项系数为负数，又是什么情况呢？请你按下暂停键，在坐标系中继续画出二次函数$y = -2x2 + 1$和$y = -2x2 - 1$的图像，观察它们的开口方向、顶点坐标和对称轴、最值以及增减性又是如何？
生：通过观察图像我们发现它们的开口都是向下。不同的是$y = -2x2 + 1$的顶点坐标为$(0,1)$，$y = -2x2 - 1$的顶点坐标为$(0, -1)$，它们的对称轴都是$y$轴。追问$y = -2x2 + 1$和$y = -2x2 - 1$的增减性又如何呢？通过观察图像，我们发现在对称轴左侧图像都是从左到右上升，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，图像从左到右都是下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
不同的是，由于抛物线的开口都是向下，所以当$x = 0$时，$y = -2x2 + 1$有最大值为$1$，当$x = 0$时，$y = -2x2 - 1$有最大值为$-1$。
师：通过我们共同的努力，我们可以得出二次函数$y = ax2 + c$性质：$a > 0$开口向上，$a < 0$开口向下，它们的对称轴都是$y$轴或直线$x = 0$，顶点坐标都是$(0,c)$。$a > 0$，抛物线开口向上有最低点，即$x = 0$时，$y$有最小值为$c$；$a < 0$时，抛物线开口向下有最高点，即$x = 0$时，$y$有最大值为$c$。
增减性：$a > 0$，抛物线的开口向上，在对称轴左侧，图像从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，图像从左到右上升，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而增大。$a < 0$时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，图像从左到右上升，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，图像从左到右下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
现在请你想一想，画抛物线$y = ax2 + c$图像有哪些方法？
生：我们知道画二次函数$y = ax2 + c$图像，除了可以用描点法分三步，即列表、描点、连线。第二种方法，用平移法分两步，先画出二次函数$y = ax2$的图像，再向上或向下平移$|c|$个单位。
师：追问$y = ax2 + c$中$a$决定什么？$c$决定什么？它的对称轴又是什么？顶点坐标如何表示？
生：通过刚才的学习，我们知道$a$决定着抛物线的开口方向和大小。$a > 0$时，抛物线的开口向上；$a < 0$时，抛物线的开口向下。我们还知道$a$的绝对值越大，抛物线的开口越小。$c$决定顶点的位置，$c > 0$时，抛物线交于$y$轴的正半轴；$c < 0$时，图像交于$y$轴的负半轴；$c = 0$时，交于坐标原点。对称轴仍是$y$轴，顶点坐标为$(0,c)$。
师：下面请你利用所学的内容解决以下问题，看一看你和老师的想法一样吗？
第一题，考察二次函数$y = ax2$的图像性质，$a > 0$，抛物线的开口向上有最低点，即$x = 0$时，$y$也有最小值为$0$。所以$A$、$D$选项错误，它的对称轴仍是$y$轴或直线$x = 0$，所以$C$选项错误，$B$选项考察增减性。由于抛物线的开口向上，在对称轴左侧，图像从左到右下降，即$x < 0$时，$y$随$x$的增大而减小，所以本题答案为$B$。
第二题考察二次函数$y = ax2 + c$和$y = ax2$之间的联系。我们知道$y = ax2 + c$可以看成是由$y = ax2$的图像向上或向下平移$|c|$个单位，平移的规律是上加下减，所以二次函数$y = -3x2 + 1$可以看成是抛物线$y = -3x2$向上平移一个单位，得到本题答案为$D$。
第三题考察增减性。由于二次项系数$a = -3 < 0$，$x_1 > x_2 > 0$，所以$A$、$B$两点在对称轴的右侧，图像从左到右下降，所以$y$随$x$的增大而减小，即$x_1 > x_2 > 0$时，有$y_1 < y_2$。
第四题，我们知道$y = -x2$向上平移一个单位可以得到$y = -x2 + 1$的图像。反之，$y = -x2 + 1$的图像向下平移一个单位，即可得到$y = -x2$的图像。第$2$小题，在函数$y = -x2 + 1$中，由于二次项系数$a = -1 < 0$，所以在对称轴的右侧图像下降，即$x > 0$时，$y$随$x$的增大而减小。抛物线开口向下有最高点，即$x = 0$时，函数有最大值为$1$。抛物线与$y$轴的交点坐标为$(0,1)$，与$x$轴的交点坐标分别为$(-1,0)$、$(1,0)$。
师：我们把刚才的学习进行梳理与小结。本节课我们学习了二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$图像与性质。通过从图像的开口、对称性、顶点坐标、最值和增减性这几个方面的学习，明确了二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$图像开口方向和大小由$a$的符号决定，$c$决定了图像的顶点位置，它们的对称轴都是$y$轴。增减性结合开口方向和对称轴才能确定。二次函数$y = ax2$和$y = ax2 + c$联系，把二次函数$y = ax2$的图像向上或向下平移，即可得到二次函数$y = ax2 + c$图像，$c > 0$向上平移，$c < 0$向下平移。大家掌握了吗？
最后是我给大家布置的作业，必做题夯实你的基础，选做题锻炼你的思维。好了，本节课就上到这里，很高兴与大家相遇，希望老师的讲解能对大家的学习有所帮助，让大家爱上数学，再见。