师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起来学习初中数学北师大版九年级下册第三章第一节。圆在我们日常生活中随处可见，游乐场能看到圆的身影，广州圆大楼以圆命名，奥运五环旗也是圆形，可见圆是很常见的图形。那自行车的车轮为什么设计成圆形？圆规画圆的原理是什么？本章我们将运用以前所学几何知识研究圆的性质，并利用这些知识解决实际生活中的问题。
相信各位同学都玩过投圈游戏。如图，一些学生正在做投圈游戏，他们的投圈目标是图中的花瓶，他们呈一字排开，这样的队形对每个人都公平吗？大家认为他们应当排成什么样的队形才公平呢？显然，站成一字形时，每位同学到花瓶的距离不相等，所以这样的队形不公平。那该怎么站才公平呢？关键在于排成什么样的队形，能使每一位同学到花瓶的距离相等。
从距离角度考虑，排成圆形或者圆弧形会比较公平。七年级时，我们已经对圆有了初步认识。再来观察画圆的过程，大家能说出圆是如何画出来的吗？在一个平面内，一条线段绕它的端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆。比如对于线段 OI 来说，固定的端点 O 叫做圆的圆心，线段 OI 叫做半径。我们发现圆上每一个点到圆心的距离都相等。所以也可以把圆定义为平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，这里的定点就是圆心，定长就是半径。那么一个以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”。同学们，我们一起来看。
在这个定义中，定点 O 就是圆心，定长 r 就是半径。这说明想要确定一个圆，关键要素就是圆心和半径。比如只确定圆心，半径不固定，这样的圆不止一个，像我们常见的同心圆；同样，只知道半径，不知道圆心，也能画出很多个圆。由此可见，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，所以确定一个圆，圆心和半径这两个因素缺一不可。
接下来我们了解一些圆的相关知识。在圆上任意取两个点，用线段将它们连接，这条连接圆上任意两点间的线段就叫做弦，比如弦 AB。同学们看，像这样一条经过圆心的线段是不是圆 O 的弦？这条线段连接了圆上的两个点 C、D，所以它是圆 O 的弦。我们还能看到，这条弦很特殊，经过了圆 O 的圆心，我们把这样一条经过圆心的弦叫做圆的直径，比如图中的 CD。弦和直径本质上都是线段，直径是弦，并且是经过圆心的特殊弦，是弦中最长的弦。但反过来，弦不一定是直径。我们再来看，圆上任意两点间的部分是圆弧，比如在圆上以 A、B 两点为端点的弧，就记作“⌒AB”，读作“弧 AB”。在这里，按照顺时针方向，从点 A 到点 B 这一段是圆弧，同样从点 B 到点 A 这样的一段也是圆弧。如果两个点正好是直径的两个端点，就将圆分成了两条弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，这两条弧中的每一条弧就叫做半圆。对于 A、B 两点不是直径的两个端点，但也将圆分成了两条弧，我们把小于半圆的弧叫做劣弧，而大于半圆的弧叫做优弧。
那么有同学可能会问，这两条都是以 A、B 为端点的弧，该怎么表示呢？对于劣弧，我们可以直接记作“⌒AB”，也可以在劣弧 AB 上任选一点 E，记作“⌒AEB”。同样，我们可以在优弧上任选一点 C，记作“⌒ACB”，也可以任意选一点 D，记作“⌒ADB”。请同学们思考一下，半圆是弧吗？是的。反过来，弧一定是半圆吗？不一定。半圆既不是劣弧，也不是优弧。如果有两个圆能够完全重合，我们就把这样的两个圆称之为等圆。圆的大小由半径控制，所以等圆的半径相等。在同圆或等圆当中，能够互相重合的弧叫做等弧。大家想一想，长度相等的弧是等弧吗？除了长度一样，它们的形状也要完全重合，所以等弧只是针对同圆或等圆来说的，因此长度相等的弧不一定是等弧。
这些知识大家都掌握了吗？同学们小时候玩过掷飞镖的游戏吗？我们可以把飞镖的圆盘想象成一个圆形，大家观察一下，在这个图中，点和圆的位置关系有哪几种呢？从图中可以清楚看到，蓝色的点在圆外，红色的点在圆上，黑色的点在圆内，所以点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆内、点在圆上、点在圆外。
我们来看，在这个图中，如果设圆 O 的半径为 r，点到圆心的距离为 d。当点在圆内时，从图中可以发现点到圆心的距离小于半径 r；当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径 r；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径 r。反之，由点到圆心的距离和半径比较，可以判断点的位置，这就是数学中常讲的数形结合，我们可以通过点与圆的位置关系判断数量关系，同样，也能根据点到圆心的距离与半径 r 之间的数量关系，推出点与圆的位置关系。通过刚才的学习，相信大家能轻松应对下面的例题。
我们先来看例一，如图，A、B、C 都是圆 O 上的点，且点 A、O、B 在同一条直线上，连接 OC、AC。1. 写出图中的半径。2. 写出图中的弦、劣弧、优弧。根据半径的定义，我们可以发现这里半径有三条，分别是 OA、OB、OC。图中的弦有两条，分别是 AC、AB，这里的 AB 不仅是弦，也是直径，是圆 O 中最长的弦。我们知道劣弧是小于半圆的弧，所以这里的劣弧有两条，分别是“⌒AC”“⌒BC”。优弧是大于半圆的弧，优弧同样有两条，分别是“⌒CAB”“⌒ACB”。
我们再来看例 2，如图，AB 是圆 O 的弦，半径 OC、OD 分别交 AB 于点 E、F，且 AE = BF。请大家判断线段 OE 与 OF 的数量关系并给予证明。数量关系无外乎相等或者不相等。从图中大致可以猜想，OE 和 OF 应该相等。那怎么证明线段 OE 和 OF 相等呢？我们通常通过证明全等三角形，利用全等三角形的性质来证线段相等。这里没有出现全等三角形，所以要先构造全等三角形，可以利用圆的特殊性质，比如圆的半径处处相等，我们连接 OA 和 OB。连接 OA 和 OB 之后，就出现了两个三角形。我们看 OE 在哪个三角形中，OF 在哪个三角形中，不难得出，需要证明△OAE ≌△OBF。