师：同学们好，今天我们学习初中数学北师大版九年级下册第一章第一节锐角三角函数第二课时。上节课我们学习了利用锐角三角函数正切来刻画梯子的倾斜程度。请同学们回忆一下，什么是正切？
生：在Rt三角形ABC中，锐角α的对边与邻边的比叫做角α的正切，记作tanα，即tanα等于角α的对边比角α的邻边。
师：非常好。现在请同学们根据正切的定义，认真思考并完成下面两个练习。
（同学们完成练习）
师：同学们，做好了吗？我们一起来看看。一，如图，在Rt三角形ABC中，tanα等于a比b，tanβ等于b比a。二，在Rt三角形ABC中，角C等于90度，tanα等于3/4，AC等于10，求BC和AB的长。这道题呢，在Rt三角形ABC中，先根据锐角α的正切和AC的边长求出BC的长，再利用勾股定理求出AB的长。具体解题步骤如下：在Rt三角形ABC中，角C等于90度，因为tanα等于BC比AC，也就是BC比10等于3/4，所以BC等于10乘以3/4，等于15/2。所以AB等于根号下AC的平方加BC的平方，即根号下10的平方加（15/2）的平方，等于25/2。同学们，做对了吗？
我们知道正切可以刻画梯子的倾斜程度，若梯子与水平面相交的锐角为角α，角α越大，梯子越陡，tanα的值越大，梯子也越陡。当Rt三角形ABC中的一个锐角α确定时，角α的对边与邻边的比便随之确定，此时其他边之间的比也确定吗？还可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗？现在我们就一起去探索。请同学们观察图形并思考下面3个问题。
（同学们思考问题）
师：同学们，想好了吗？我们一起来看一看。通过观察图形，利用相似三角形的判定定理可以得到：一，Rt三角形AB?C?和Rt三角形AB?C?的关系是相似。再利用相似三角形的对应边成比例，可以得到：二，B?C?比AB?和B?C?比AB?的关系是相等，AC?比AB?和AC?比AB?的关系也是相等。三，如果改变B?在梯子上的位置，我们仍然能得出以上两个结论。因此从上面的问题可以看出，当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比随之确定，它的邻边与斜边的比也随之确定。那么直角三角形中这个锐角的对边与斜边的比以及邻边与斜边的比，我们称之为什么呢？同学们请看，在Rt三角形ABC中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα等于角α的对边比斜边。在Rt三角形ABC中，锐角α的邻边与斜边的比叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα等于角α的邻边比斜边。锐角α的正弦、余弦和正切都叫做角α的三角函数。那么我们在学习锐角三角函数时要注意什么呢？同学们请看。
温馨提示：一、sinα、cosα是在直角三角形中定义的，角α是一个锐角。二、sinα、cosα中常省去角的符号，但角BAC的正弦和余弦表示为sin∠BAC、cos∠BAC，角的符号不能省去；角1的正弦和余弦表示为sin∠1、cos∠1，角的符号也不能省去。三、sinα、cosα没有单位，它表示一个比值。四、sinα、cosα是一个完整的符号，不表示sin、cos乘以α。五、sinα与cosα的大小只与角α的大小有关，而与直角三角形的边长没有必然的关系。同学们，记住了吗？通过上节课的学习，我们知道梯子的倾斜程度与tanα有关系，tanα越大，梯子越陡。那么请同学们认真观察和思考，梯子的倾斜程度与sinα和cosα有关系吗？是怎样的关系？
（同学们思考）
师：同学们，想好了吗？我们一起来看一看。我们通过观察可以看出，随着梯子的倾斜角α的增大，斜边（梯子的长度）不变，则角α的对边变大，邻边变小，所以角α的对边与斜边的比变大，邻边与斜边的比变小。因此我们可以得出，梯子的倾斜程度与sinα和cosα有关，sinα的值越大，梯子越陡；cosα的值越小，梯子越陡。通过刚才的探究活动，我们知道了锐角三角函数的定义，现在我们就根据这个知识来解决一个典型的例题，请同学们认真思考，独立完成这道题。
（同学们做题）
师：同学们，做好了吗？我们一起来看看。如图，在Rt三角形ABC中，角C等于90度，AB等于200，sinα等于0.6，求BC和cosβ的值。这道题在Rt三角形ABC中，先根据锐角α的正弦和AB的长度求出BC的长，再利用BC与AB的比求cosβ的值。具体解题步骤如下：在Rt三角形ABC中，因为sinα等于BC比AB，也就是BC比200等于0.6，所以BC等于200乘以0.6，等于120。所以cosβ等于BC比AB，等于120比200，等于0.6。同学们，做对了吗？通过刚才的计算，你发现sinα与cosβ有什么关系呢？
生：sinα与cosβ相等。
师：非常好。那么sinβ与cosα在其他的直角三角形中是不是也一样呢？请同学们接着来看下一题，请同学们认真思考，独立完成。
（同学们做题）
师：同学们，做好了吗？我们一起来看一看。如图，在Rt三角形ABC中，角C等于90度，AC等于10，cosα等于12/13，求AB和sinβ的值。这道题在Rt三角形ABC中，先利用角α的余弦和AC的长度求出AB的长，再利用AC与AB的比求sinβ的值。具体解题步骤如下：在Rt三角形ABC中，因为cosα等于AC比AB，也就是10比AB等于12/13，所以AB等于10除以12乘以13，等于65/6。所以sinβ等于AC比AB，等于10比65/6，等于12/13。做对了吗？通过这道题的计算，我们发现sinβ与cosα也相等。那么请同学们想一想，在任意Rt三角形ABC中，角C等于90度，角α和角β的正弦和余弦分别是什么？它们有什么关系？
生：通过观察图形可以看出，角α的对边恰好是角β的邻边，而角β的对边又恰好是角α的邻边。因此，根据锐角三角函数的定义，我们可以得出sinα等于BC比AB，cosα等于AC比AB，sinβ等于AC比AB，cosβ等于BC比AB。可以得出sinα等于cosβ，cosα等于sinβ。