师：同学们好，今天我们来学习北师大版数学九年级下第一单元第五节——三角函数的应用。我们来看学习目标：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用；能够把实际问题转化为数学问题；能够借助计算器进行有关三角函数的计算；能够对结果的意义进行说明。
首先，我们要回顾直角三角形边与角之间的关系。
直角三角形三边的关系——勾股定理：如图，(a)的平方加(b)的平方等于(c)的平方。
直角三角形两锐角的关系：两锐角互余，如图，(\angle A)加(\angle B)等于(90)度。
直角三角形边与角之间的关系——锐角三角函数。
如图，(\sin A)等于(\angle A)的对边比上斜边，即(\frac{a}{c})；(\sin B)等于(\angle B)的对边比上斜边，即(\frac{b}{c})。(\cos A)等于(\angle A)的邻边比上斜边，即(\frac{b}{c})；(\cos B)等于(\angle B)的邻边比上斜边，即(\frac{a}{c})。(\tan A)等于(\angle A)的对边比上(\angle A)的邻边，即(\frac{a}{b})；(\tan B)等于(\angle B)的对边比上(\angle B)的邻边，即(\frac{b}{a})。这里我们特别要关注特殊角(30)度、(45)度、(60)度角的三角函数值。
接下来看探究一——船有无触礁的危险。
如图，海中有一个小岛(A)，该岛四周(10)海里内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在(A)岛南偏西(55)度的(B)处，往东行驶(20)海里后，到达该岛的南偏西(25)度的(C)处，之后货轮继续向东航行。同学们，你们认为货轮继续向东航行的途中会有触礁的危险吗？你们是怎么想的？与同伴进行交流。
这里要回顾方位角的知识，以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线所构成的小于(90)度的角叫做方位角。如图，(OA)是北偏东(30)度，(OB)是南偏西(45)度。
这一题给出了图形语言，根据题意，它的文字语言有以下四点：一、该岛四周(10)海里内有暗礁；二、货轮开始在(A)岛南偏西(55)度的(B)处；三、往东行驶(20)海里后，到达该岛的南偏西(25)度的(C)处；四、货轮继续往东航行途中会有触礁的危险吗？
这一题判断货轮继续向东航行是否安全，取决于小岛(A)到(BD)航线的距离是否大于(10)海里。如图，也就是求出(AD)是否大于(10)海里。(AD)在直角三角形(ABD)中，(AD)也在直角三角形(ACD)中。
根据三角函数，在直角三角形(ABD)中，(\tan55^{\circ}=\frac{BD}{AD})，那么(BD = AD\times\tan55^{\circ})。在直角三角形(ACD)中，(\tan25^{\circ}=\frac{CD}{AD})，(CD = \tan25^{\circ}\times AD)。这里我们知道(BC = BD - CD = 20)海里，所以我们可以根据方程的方法求出(BD)、(CD)还有(AD)的值。
解题过程：
解：由点(A)作(AD)垂直(BC)，交(BC)的延长线于点(D)。设(AD)为(x)海里。
在直角三角形(ACD)中，(CD = AD\times\tan\angle CAD = x\times\tan25^{\circ})。
在直角三角形(ABD)中，(BD = AD\times\tan\angle BAD = x\times\tan55^{\circ})。
由(BC = BD - CD)得到(BC = x\times\tan55^{\circ}-x\times\tan25^{\circ}=20)。
解这个方程，所以(x = \frac{20}{\tan55^{\circ}-\tan25^{\circ}})。
用计算器可以计算出(\tan55^{\circ}\approx1.4281)，(\tan25^{\circ}\approx0.4663)，所以(x\approx20.67)海里。
因为(20.67\gt10)，所以没有触礁的危险。
这一题的做法是根据题意画出几何图形，构造直角三角形，灵活运用三角函数的有关知识解决问题。
探究二——古塔究竟有多高？
如图，小明想测量塔(CD)的高度。他在(A)处仰望塔顶，测得仰角为(30)度，在往塔的方向前进(50)米至(B)处，测得仰角为(60)度，那么该塔有多高？
这里小明的身高忽略不计，结果要精确到(1)米。同学们，现在你们能完成这个任务吗？请与同伴交流，你们是怎么想的？准备怎么去做？
这里我们需要学习仰角与俯角的知识。当我们进行测量时，在同一竖直平面内，在视线与水平线所构成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。
根据题意画出以下图形语言，构造出两个直角三角形(ACD)和直角三角形(BCD)。我们会发现这一题和我们的探究一非常相似，那么我们是否可以利用探究一去解决这个问题呢？
看文字语言：在(A)处仰望塔顶，测得仰角为(30)度，也就是说(\angle DAC = 30)度；再往塔的方向前进(50)米至(B)处，测得仰角为(60)度，也就是(AB = 50)米，(\angle DBC = 60)度；该塔有多高，也就是要求出(DC)的长度。小明的身高忽略不计，结果精确到(1)米。
我们发现这一题和探究一图形是一样的，只是已知的角度发生了变化。那么我们仍然可以用三角函数解决这个问题。
(DC)在直角三角形(ACD)中，(\tan30^{\circ}=\frac{DC}{AC})，(AC)也就等于(\frac{DC}{\tan30^{\circ}})。(DC)在直角三角形(BCD)中，(\tan60^{\circ}=\frac{DC}{BC})，所以(BC)就等于(\frac{DC}{\tan60^{\circ}})。