师：各位同学，大家好！今天我们共同来学习初中数学北师大版九年级下册第三章第八节——圆内接正多边形。请同学们准备好练习本、直尺和圆规。
首先，了解一下这节课的学习目标：
一、了解圆内接正多边形的定义及相关概念。
二、掌握正多边形边长、中心角及边心距的求法。
三、会用尺规作图的方法作一个圆的某些内接正多边形。
同学们，来观察这几个图片，它们分别是正三角形、正四边形、正五边形、正六边形。那么，什么叫做正多边形呢？各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
师：矩形是正多边形吗？为什么？
生：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等。
师：菱形是正多边形吗？
生：菱形也不是正多边形，因为菱形不符合各角相等。
师：所以，各边相等和各角相等这两个条件缺一不可。
正多边形与我们这一章所学习的圆有着什么样的关系呢？今天我们就来探究正多边形与圆的关系。首先，一起回忆圆心角、弧、弦的关系。在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。在这三组量中，只要有一组量相等，其余两组量均相等。即圆心角∠IOB与∠IOC相等，可以得到弧AB与弧AC相等，也可以得到弦AB与弦AC相等。当然，如果弧AB等于弧AC或弦AB等于弦AC，那么其余两组量也是相等的。
师：思考，如图，把圆O分成相等的五段弧，即弧AB = 弧BC = 弧CD = 弧DE = 弧EA，依次连接各分点，所得五边形是正五边形吗？同学们思考一下。
生：在同圆中相等的弧所对的弦相等，所以AB = BC = CD = DE = EA，因此这个五边形的五条边相等。弧BCE = 3倍的弧AB = 弧CDI，在同圆中相等的弧所对的圆周角相等，所以∠A = ∠B。同理，可以得到∠B = ∠C = ∠D = ∠E，因此这个五边形的五个角也相等。最终可以判定五边形ABCDE是正五边形。
师：如果将圆n等分（n≥3），依次连接各分点所得到的多边形是正多边形吗？同学们再思考一下。
生：可以类比刚刚的解答过程。在同圆中相等的弧所对的弦相等，所以多边形的各边相等。在同圆中相等的弧所对的圆周角相等，所以多边形的各角也相等，最终也可以判定该多边形是正多边形。
师：我们把顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆。如何由圆得到一个正多边形？将圆n等分（n≥3），依次连接各分点，就可以作出一个圆内接正多边形。圆内接正多边形与圆的一些因素有什么样的关系呢？同学们来观看此图。
外接圆的圆心叫做正多边形的中心。外接圆的半径叫做正多边形的半径。中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。所以正n边形有n个中心角，且每个中心角均相等。
师：同学们先自己思考这些题目，我们一起来看一看大家做对了吗？
第一题，由于正n边形有n个中心角，且每个中心角都相等，所以正n边形的每个中心角等于$\frac{360°}{n}$。
第二题，正n边形的内角和等于$(n - 2)×180°$，而正n边形每个内角都相等，所以每个内角都等于$\frac{(n - 2)×180°}{n}$，也可以写成$180° - \frac{360°}{n}$。
第三题，正n边形的外角和是360°，且每一个外角都相等，所以正n边形的每个外角等于$\frac{360°}{n}$。而正n边形的每个中心角也等于$\frac{360°}{n}$，所以正多边形的中心角与外角的大小关系是相等的。
第四题，正多边形的边长、半径和边心距构成了一个直角三角形。由垂径定理可知，这条直角边的长度是正多边形边长的一半，即$\frac{a}{2}$。由勾股定理可得正n边形的边长a、半径R、边心距r之间满足$R^{2}=r^{2}+(\frac{a}{2})^{2}$。
第五题，正n边形可以看作由n个底边长为a，高为r的等腰三角形拼成的。所以边长为a，边心距为r的正n边形的面积可以表示为$n×\frac{1}{2}ar$，也就是$S = \frac{1}{2}nar$。这里边长的n倍是正n边形的周长，所以面积也可以写成$\frac{1}{2}lr$，这里l为正n边形的周长。
师：同学们，你们做对了吗？由第4题和第5题的解答，同学们可以感知到在求圆内接正多边形的有关计算时，我们借助了等腰三角形和直角三角形，因此同学们可以添加这样的辅助线来完成圆内接正多边形的有关计算。一连半径得圆心角和等腰三角形。二作边心距构造直角三角形，再利用勾股定理或特殊的三角函数值来解决正多边形的有关计算。
下面我们来看一道例题，如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC = 4，OG⊥BC，垂足为点G。求正六边形的中心角、边长和边心距。
师：我们要求中心角、边长和边心距，就要添加辅助线连接半径，构造圆心角以及等腰三角形。具体过程如下，连接OD，得到圆心角∠COD以及等腰三角形△COD。因为六边形ABCDEF为正六边形，所以中心角∠COD = $\frac{360°}{6}$ = 60°。有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以△COD为等边三角形。所以CD = OC = 4，我们可以得到正六边形的边长等于它外接圆的半径。在直角三角形△COG中，OC = 4。由垂径定理可知，CG是BC的一半，可以计算出CG = 2。再由勾股定理求出边心距OG的长为$2\sqrt{3}$。所以正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为$2\sqrt{3}$。