师：同学们好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们一起学习初中数学北师大版九年级下册第三章圆的第三节——垂径定理。同学们，先欣赏这幅图片，知道这座桥吗？对，它就是 1400 多年前我国隋朝建造的赵州石拱桥。它的主桥是圆弧形，跨度，也就是弧所对弦的长为 37.4 米，拱高，即弧的中点到弦的距离是 7.2 米。大家想想，能求出主桥拱所在圆的半径吗？
接下来，大家动手在白纸上画一个圆，沿着圆的任意一条直径所在直线对折几次，看看能发现什么？
生：我们发现圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
师：非常好。那接下来，大家利用手中的圆，任意画出圆 O 的一条弦 AB ，作直径 CD ，使 CD 垂直于 AB ，垂足为 M 。然后沿着 CD 折叠圆 O ，仔细观察，图中有哪些相等的线段和弧？
生：线段 AM 等于 BM ，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。
师：同学们猜想得很正确。那除了用折叠法，能不能用所学知识证明这个结论呢？我们先写好已知、求证。已知在圆 O 中， CD 是直径， AB 是弦， AB 垂直于 CD ，垂足为 M 。求证 AM 等于 BM ，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。大家思考下，怎么证明两条线段相等呢？
生：可以利用三角形全等来证明两条线段相等。
师：没错。观察这个图，发现没有现成的两个三角形，所以我们要添加辅助线构造三角形全等。连接 OA 、 OB ，则 OA 等于 OB 。在直角三角形 OAM 和直角三角形 OBM 中，因为 OA 等于 OB ， OM 等于 OM ，所以 RT 三角形 OAM 全等于 RT 三角形 OBM 。这里用的是两个直角三角形全等的斜边、直角边定理，所以 AM 等于 BM 。那如何证明两条弧相等呢？
生：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
师：很好。因为 RT 三角形 OAM 全等于 RT 三角形 OBM ，所以角 AOC 等于角 BOC ，所以弧 AC 等于弧 BC 。同理，为什么弧 AD 等于弧 BD 呢？
生：因为角 AOD 等于 180 度减去角 AOC ，角 BOD 等于 180 度减角 BOC ，而角 AOC 等于角 BOC ，所以角 AOD 等于角 BOD ，所以弧 AD 等于弧 BD 。
师：我们来看一下证明过程。证明：连接 OA 、 OB ，则 OA 等于 OB 。在 RT 三角形 OAM 和 RT 三角形 OBM 中，因为 OA 等于 OB ， OM 等于 OM ，所以 RT 三角形 OAM 全等于 RT 三角形 OBM ，所以 AM 等于 BM ，角 AOC 等于角 BOC ，所以弧 AC 等于弧 BC 。又因为角 AOD 等于 180 度减角 AOC ，角 BOD 等于 180 度减角 BOC ，所以角 AOD 等于角 BOD ，所以弧 AD 等于弧 BD 。大家能用简洁的文字语言概括这个结论吗？
生：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
师：这就是垂径定理的文字语言。那几何语言怎么表达呢？因为 CD 是直径， CD 垂直于 AB ，所以 AM 等于 BM ，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。我们要掌握垂径定理的三种表达方式：图形语言、文字语言、几何语言。接下来，大家再动手操作。如图，若 AB 是圆 O 的一条弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD 交 AB 于点 M 。思考，这个图是轴对称图形吗？其对称轴是什么？能发现图中有哪些等量关系？又是如何发现的？请同学们动手折一折，然后试着证明发现的结论。
生：我们发现 CD 垂直于 AB ，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。
师：如图， AB 是圆 O 的一条弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD 交 AB 于点 M 。 CD 垂直于 AB 吗？为什么？弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 吗？为什么？思考下，怎么证明两条线段垂直呢？
生：可以证明两条线段形成的夹角等于 90 度。
师：观察这两个角的位置，发现角 IMO 与角 BMO 互补，所以我们可以证明这两个角相等。那又怎么证明两个角相等呢？
生：利用两个三角形全等证明两个角相等。
师：对，所以还是要构造两个三角形全等。连接 OA 、 OB ，则 OA 等于 OB 。题目提到作一条平分 AB 的直径 CD 交 AB 于点 M ，所以 AM 等于 BM ，还有 OM 等于 OM 。所以三角形 OAM 全等于三角形 OBM ，这里用的是边边边定理。因此角 IMO 等于角 BMO ，所以 CD 垂直于 AB 。由此，由垂径定理就可以得到弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。我们一起来看一下证明过程。