师：同学们好，前面两节课我们学习了柯西不等式应用，柯西不等式能解决一些不等式问题。这节课我们来学习高中学段数学学科，人民教育出版社A版选修4 - 5第三讲第三节排序不等式。首先来看课堂探究。
如图，设∠IOB = α，自点O沿OA边依次取n个点A?、A?……直到A?，在OB边依次取n个点B?、B?……直到B?。在OA边取某个点A?与OB边某个点B?连接，得到三角形A?OB? ，这样搭配一共可得到n个三角形。显然不同的搭配方法得到的三角形A?OB?不同，因而三角形的面积也可能不同。
问：OA边上的点与OB边上的点如何一一搭配，才能使得到的n个三角形面积之和最大？又如何一一搭配，才能使得到的n个三角形面积之和最小呢？这里的一一搭配，指A?、A?……直到A?中各点，分别对应B?、B?……直到B?中不同的点，在进行一一搭配时做到不重不漏。
我们可以从A?开始分步搭配。第一步对A?进行搭配，可以从B?、B?……直到B?中任意取一点和A?搭配，共有n种搭配方法，比如现在让A?与B?搭配。第二步，对A?进行搭配，从剩余的B?中任取一点进行搭配，有n - 1种搭配方法，如此继续下去。第n步，对A?进行搭配，只有一种搭配方法。完成所有点的一一搭配，共有n!种方案，n!即为B?、B?……直到B?的全排列数。
每次一一搭配形成n个三角形，在计算三角形面积和时，设OA?的长等于a?，OB?的长等于b? 。由已知条件得a? < a? < a? < …… < a?，b? < b? < b? < …… < b? 。因为三角形A?OB?的面积等于$\frac{1}{2}$a?b?sinα，而$\frac{1}{2}$sinα为常数。所以n个三角形面积之和的几何问题，就可以归结为n个乘积的和的代数问题。
设c?、c?……直到c?是数组B?、B?……直到B?的任意排列。问：以下n个乘积的和S = a?c? + a?c? + …… + a?c?何时取得最大值？我们把上面的S叫做数组a?、a?……直到a?和B?、B?……直到B?的乱序和。在乱序和中，按相反顺序相乘所得的积的和S? = a?b? + a?b??? + …… + a?b?，称为反序和。按相同顺序相乘所得积的和S? = a?b? + a?b? + …… + a?b?，称为顺序和。我们对一般的实数组也作同样的定义。现在来思考一下，乱序和、反序和、顺序和哪个最大，哪个最小呢？好像不容易看出来。
探究问题时，数学中常用从特殊到一般的方法，即从简单的问题入手。比如在OA和OB上分别取两点A?、A?、B?、B?，对它们进行一一搭配，有两种搭配方案。第一种搭配方案：A?与B?搭配得到三角形A?OB?，A?与B?搭配得到三角形A?OB?；第二种搭配方案：A?与B?搭配得到三角形A?OB?，A?与B?搭配得到三角形A?OB? 。
下面我们来看一下这两种搭配方案所得到的三角形面积和的大小。第一种搭配方案所得到的三角形面积和等于三角形A?OB?的面积加上三角形A?OB?的面积，即两个三角形的面积和。而在第二种搭配方案中，所得到的三角形的面积和等于两个四边形A?OB?M的面积加上一个三角形B?MB?的面积，再加上三角形A?MA?的面积。如何比较它们的大小呢？大家来思考一下。
生：（有同学给出比较大小的方法）在第二种搭配方案中做两条辅助线连接A?B?、A?B?，这时所得到的三角形面积和又等于两个三角形A?OB?的面积加上两个三角形A?MB?的面积，加上三角形B?MB?的面积，再加上三角形A?MA?的面积。因为三角形A?MB?的面积小于三角形A?MB?的面积，所以不难发现第二种搭配方法所得到的三角形的面积和小于第一种搭配方法所得到的三角形面积和。从而得到反序数S?和顺序数S?的大小关系：反序和小于顺序和。
师：如果当a? = 1，a? = 2，a? = 3，b? = 4，b? = 5，b? = 6时，乱序和、反序和、顺序和的大小关系又是怎样的呢？下面我们来探究一下这个关系。请看表格。
（根据不同对应关系计算出乱序和、反序和、顺序和的数值）
根据第一种对应关系，我们得到乱序和S = a?b? + a?b? + a?b? ，这里也就是顺序和，计算结果是32。根据第二种对应关系，我们计算出乱序和S，它的结果是31。根据第三种对应关系，我们计算出乱序和S的结果是31。根据第四种对应关系，我们所计算出的乱序和等于a?b? + a?b? + a?b? ，即反序和，它的结果是28。
生：有的同学已经发现了反序和最小，顺序和最大，同时也做出了反序和小于等于乱序和小于等于顺序和的猜想。
师：但这仅仅是猜想，还有两个乱序和是不是也满足这个猜想呢？下面我们来检验一下。根据第5种对应关系，我们计算出乱序和等于29。根据第6种对应关系，我们计算出乱序和S等于29，检验结果和猜想一致。如果每组数中数据改变，猜想是否依然正确呢？如果正确则能证明，不正确则应能举出反例。下面我们来探究证明这个猜想在其他数据时是否正确。
为不失一般性，设每组有n个数据。设a? ≤ a? ≤ …… ≤ a? ，b? ≤ b? ≤ …… ≤ b?为两组实数，c?、c?……直到c?是B?、B?……直到B?的任意一个排列。因为B?、B?……直到B?的全排列只有n个，所以S = a?c? + a?c? + …… + a?c?的不同的值也只有有限个，其中必有最大值和最小值。
考虑到刚刚我们的猜想顺序和最大，现在我们观察一式，看看第一项中的c?是否等于b? 。如果第一项中的c?不等于b?，则在其他n - 1项中必有一项c?等于b? ，且c? > c? 。现在我们将一式中的c?、c?对换得S?′ = a?c? + …… + a?c? + …… + a?c? 。观察一式和二式，看看对换c?、c?后式子的值是否发生变化，我们做差比较得到：S?′ - S = a?c? + a?c? - a?c? - a?c? ，再根据因式分解可以做出它的结果为(c? - c?)(a? - a?) 。因为c? > c? ，a? ≥ a? ，所以S?′ - S ≥ 0，即S?′ ≥ S 。这说明将c?换成b?后和是不减小的。
那如果一式中第一项c? = b? ，我们这时转而考察c?并进行类似讨论。类似的可以证明，将一式中的第一项换为a?b? ，第二项换为a?b?后和是不减小的。如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中最大和数所对应的情况只能是数组c?、c?……直到c?由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即乱序和S ≤ 顺序和S? 。同样可以证明最小和数是反序和，即反序和S? ≤ 乱序和S 。因此反序和S? ≤ 乱序和S ≤ 顺序和S? 。
至此，我们已经证明了前面的猜想是正确的。在证明过程中，固定a?、a?……直到a? ，对另一列数c?、c?……直到c?的大小采取了逐项调整并不断比较的措施，使其逐步递归为b?、b?……直到b?的这种正序的方法叫做逐步调整比较法。
下面我们来思考顺序和S?与反序和S?能相等吗？如果能，那么什么条件下两者相等呢？
生：容易发现当a? = a? = …… = a?或b? = b? = …… = b?时，所有和数的结果相等，顺序和等于反序和，即反序和S? = 乱序和S = 顺序和S? 。
师：那如果a?、a?……直到a?不全相等，并且b?、b?……直到b?也不全相等。由a? ≤ a? ≤ …… ≤ a? ，b? ≤ b? ≤ …… ≤ b? ，则一定有a? < a? ，b? < b? 。考虑和数S? = 顺序和S? - (a?b? + a?b?) + (a?b? + a?b?) 。其实这个S?即将顺序和S?中的a?b?调整为a?b? ，将a?b?调整为a?b? 。可以看出和数S?符合前面乱序和S的形式，而且通过做差比较会发现顺序和S? - S? = (a? - a?)(b? - b?) > 0，也即是S? < 顺序和S? 。因为同学们已证反序和小于等于乱序和，进而可以得到反序和S? ≤ S? < 顺序和S? ，因此反序和S? ≠ 顺序和S? 。
归纳以上证明的结论可以得到排序不等式，又称排序原理：设a? ≤ a? ≤ …… ≤ a? ，b? ≤ b? ≤ …… ≤ b?为两组实数，c?、c?……直到c?是B?、B?……直到B?的任意排列，则a?b? + a?b??? + …… + a?b? ≤ a?c? + a?c? + …… + a?c? ≤ a?b? + a?b? + …… + a?b? 。当且仅当a? = a? = …… = a?或b? = b? = …… = b?时，反序和等于顺序和，即反序和 ≤ 乱序和 ≤ 顺序和。排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要的不等式可以借助排序不等式得到证明。
现在回到课堂探究，如何一一搭配才能使所得到的n个三角形面积之和最大？如何一一搭配才能使所得到的n个三角形面积之和最小呢？
生：当A?与B?、A?与B?……直到A?与B?相搭配时，所形成的n个三角形的面积之和最大。当A?与B?、A?与B???……直到A?与B?相搭配时，所形成的n个三角形面积之和最小。
师：其实排序不等式还能解决一些生活中的实际问题，下面我们来看一个例题。有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i个人的水桶需要t?分，假定这些t?各不相同。问：只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少呢？
这个实际问题可以转化为一个怎样的数学问题呢？下面通过这个表格帮大家分析一下。若第一个接水的人需t?分，从开始接这桶水时，10人所需等候的总时间是10t? 。第二个接水的人需t?分，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t? 。依次继续下去，到第10人接水时，只有他一人在等，需要t??分。所以按这个顺序，10人都接满水，所需等待的总时间应该是10t? + 9t? + …… + 2t? + t?? ，这个和数就是问题的数学模型。现在我们要考虑t?、t?……直到t??满足什么条件时这个和数最小呢？
生：（给出答案）等待的总时间是10t? + 9t? + …… + 2t? + t?? ，根据排序不等式，当t? < t? < …… < t? < t??时，总时间取最小值。这就是说按水桶的大小，由小到大依次接水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是10t? + 9t? + …… + 2t? + t?? ，其中t? < t? < …… < t? < t?? 。
师：同学们，本节课你学习了哪些知识呢？我们来回顾一下。
一、定理（排序不等式，又称排序原理）：设a? ≤ a? ≤ …… ≤ a? ，b? ≤ b? ≤ …… ≤ b?为两组实数，c?、c?……直到c?是B?、B?……直到B?的任意一个排列，则a?b? + a?b??? + …… + a?b? ≤ a?c? + a?c? + …… + a?c? ≤ a?b? + a?b? + …… + a?b? 。当且仅当a? = a? = …… = a?或b? = b? = …… = b?时，反序和等于顺序和。
二、定理证明方法（逐步调整比较法）：固定部分条件，对其余条件做适当调整，使结论一步一步地向目标靠近，最终到达目标的位置。
三、排序不等式的应用。
下面我们来看一下课后作业：课本45页习题3.3第一题、第二题。本节课到此结束，同学们再见。