师：同学们，大家好，非常高兴借这个机会与大家一起探讨导数在研究函数中的应用。首先，我们回顾一下前面的高台跳水问题。运动员起跳 t 秒后的高度可用函数 H(t)表示，大家思考一下，能确定这个函数的单调区间吗？这是一个二次函数，图像是抛物线，开口向下，在 y 轴上的截距是 10 。对称轴是(t = -\frac{b}{2a}) ，这里(a = -4.9)，(b = 6.5)，那么对称轴(t = \frac{65}{98}) ，我们记这个数字为(a) 。令(H(t) = 0) ，便可以得到运动员落水的时刻，记为(b) 。那么这个函数的定义域就应该是((0, b)) ，有的同学认为写成([0, b]) 也是有道理的。这样我们这个函数就是二次函数的一段图像，是一段抛物线。
由这个图像不难看出，运动员从起跳到最高点这一段，也就是(t)在((0, a))之间，(H(t))是递增的；从最高点到落水，也就是(t)在((a, b))之间，这个函数是单调递减的。当然，这个问题我们也可以从单调性的定义出发，在定义域内任取两个自变量的值(t_1)，(t_2) ，且(t_1 < t_2) ，进而判断(H(t_1))与(H(t_2))的大小关系。
任取(t_1)，(t_2 \in (0, b)) ，(t_1 < t_2) ，围绕比较(H(t_1))与(H(t_2))的大小关系，我们做差，把(H(t_1))与(H(t_2))代入，得到这么一个差。这里(10)抵消掉了，把(-4.9t_1^2)和(-4.9t_2^2)去括号后合在一起，把后面(6.5t_1)和(6.5t_2)分组因式分解，提取((t_2 - t_1)) ，(4.9)也提出来，这样我们可以得到一个乘积的形式。因为(t_1 < t_2) ，所以(t_2 - t_1)肯定是大于(0)的，这样要判断这一块的正负，只需要考察([-4.9(t_1 + t_2) + 6.5])的正负就可以了。
当(t_1)、(t_2)都在((0, a))的时候，大家还记得(a)是(\frac{65}{98}) 。(t_1)、(t_2)都在((0, a))范围内，那么(t_1 + t_2)就应该比(\frac{65}{98})的二倍，也就是(\frac{65}{49})要小，所以(t_1 + t_2 - \frac{65}{49})是一个小于(0)的数。前面((t_2 - t_1) > 0) ，这里([-4.9(t_1 + t_2) + 6.5] < 0) ，所以这个差是小于(0)的，即(H(t_1) < H(t_2)) 。(t_1 < t_2) ，(H(t_1) < H(t_2)) ，所以函数在这个区间上是单调递增的。
那么当(t_1)，(t_2)都在((a, b))范围内的时候，(t_1)，(t_2)都比(a)大，那么(t_1 + t_2)就比(\frac{65}{49})要大，所以后面这个中括号([-4.9(t_1 + t_2) + 6.5])是正的。这样这个差就是正的，从而(H(t_1) - H(t_2) > 0) ，(H(t_1) > H(t_2)) 。(t_1 < t_2) ，(H(t_1))反而大于(H(t_2)) ，所以函数在((a, b))这个区间上是单调递减的。
我们归纳一下，从函数的图像以及函数的定义，我们都可以确定这个二次函数的单调性，也就是图像法和定义法。对于有些特殊的函数，我们有时候也经常采用定量分析的方法，也就是判断随(x)增大，(y)是增大还是减小，比如判断(y = 1 - \sqrt{1 - x})这个函数的单调性。当然这里(1 - x \geq 0) ，(x \leq 1) ，所以这个函数的定义域是((-\infty, 1]) 。
在定义域内，随着(x)的增大，(\sqrt{1 - x})在减小，(-\sqrt{1 - x})在增大，再加上(1) ，(y)在增大。因此这个函数在整个定义域上是单调递增的，姑且我们把这种方法叫做变量分析法。
用这些方法能解决所有函数的单调性问题吗？比如这个函数(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 24x + 1) ，首先从图像的角度看，这是一个一般的三次函数，我们只会画(y = x^3)的图像，一般的三次函数图像我们不熟悉。从定义的角度呢，刚才二次函数做差变形已经很复杂了，这个三次函数会更复杂。从变量分析的角度，随(x)的增大，(2x^3)在增大，(-24x)在减小，还有(3x^2) ，我们没有办法判断(f(x))是在增大还是在减小，显然这条路是走不通的。那么这个问题怎么解决呢？这就是我们今天这节课要讨论的。
我们还从刚才的高台跳水模型入手，来看这个函数与它的导函数之间的关系。(H(t))前面分析过，它是抛物线的一段图像，其导函数(H^\prime(t) = -9.8t + 6.5) ，也就是(v(t)) 。这是一个一次函数图像，是一条直线，在定义域范围内应该是一条线段，在(y)轴上的截距是(6.5) 。我们令(H^\prime(t) = 0) ，就可以得到(t = \frac{65}{98}) ，也就是前面的(a) 。纵截距是(6.5) ，横截距是(a) ，那么这一条直线我们就可以画出来了。
为了讨论这两者之间的关系，我们把它们的图像放在同一个坐标系里面。大家来看，运动员从起跳到最高点这一段，也就是(t)在((0, a))这一段，(H(t))是单调递增的，对应的导函数在(t)轴的上方，所以它的值是正的。运动员从最高点到落水，图像是下降的，所以(H(t))是单调递减，对应的导函数(H^\prime(t))在(t)轴的下方，它的函数值是负的。递增的时候导数值是正的，递减的时候导数值是负的。因此我们发现，如果(H(t))在((0, a))上是增函数，对应的(H^\prime(t))是正的；(H(t))在((a, b))上是减函数，(H^\prime(t))就是负的。这种关系是否具有一般性呢？我们从大家熟悉的幂指对函数去验证一下。
这四个函数是大家熟悉的幂函数，图像大家也清楚。第一个(y = x)是一条直线，它的导函数(y^\prime = 1) ，恒大于(0) ，对于任意的(x) ，导数都是正的，(y = x)在(R)上单调递增。第二个(y = x^2)是抛物线，导函数(y^\prime = 2x) 。当(x < 0)时，导数是负的；当(x > 0)时，导数是正的。这与(x < 0)时函数递减，(x > 0)时函数递增也是一致的。第三个(y = x^3) ，导函数是(y^\prime = 3x^2) ，(3x^2 \geq 0) ，仅仅在(x = 0)的时候，这一点导数等于(0) ，其他地方都是大于(0)的，也就是说函数在((-\infty, 0))上递增，在(0)这个地方停顿了一下，然后继续递增，就相当于开车在高速公路上进了服务区，停了一下，并没有掉头往回走，继续向前走，所以这一点停顿并不影响(y = x^3)在(R)上单调递增这个性质。
第四个(y = \frac{1}{x})是反比例函数，图像是双曲线，它的导函数(y^\prime = -\frac{1}{x^2}) ，(x \neq 0) ，所以这个肯定是小于(0)的。当(x < 0)时小于(0) ，当(x > 0)时，导数也小于(0) ，那么对应的图像在(x < 0)时递减，在(x > 0)时也递减，这跟我们前面的结论，递增导数大于(0) ，递减导数小于(0)是相符的。
我们再看看指数函数和对数函数。首先看指数函数(y = a^x) ，当(0 < a < 1)时，图像在(R)上单调递减；当(a > 1)时，图像在(R)上单调递增。对数函数(y = \log_a x) ，当(0 < a < 1)时，在((0, +\infty))上单调递减，过((1, 0))点；当(a > 1)时，在((0, +\infty))上单调递增。
我们再分析一下它们的导数，指数函数的导数(y^\prime = a^x \ln a) ，(a^x)肯定是大于(0)的，因此导数的正负就取决于(\ln a) 。当(0 < a < 1)时，(\ln a < 0) ，所以导数是小于(0)的，对应的图像在(R)上单调递减；当(a > 1)时，(\ln a > 0) ，导数是大于(0)的，对应的图像单调递增。对数函数(y = \log_a x)的导数记得应该是(\frac{1}{x \ln a}) ，这里(x > 0) ，其正负还是取决于(\ln a) 。同样，当(0 < a < 1)时，(\ln a < 0) ，导数小于(0) ，图像是递减的；当(a > 1)时，(\ln a > 0) ，图像是递增的。
也就是说，我们学的指数函数和对数函数，它们的单调性与它们导数之间的关系也是满足前面的结论的。那么至少从大家学过的这些函数当中，我们发现函数的单调性与它导数之间有下面这个关系：在某个区间((a, b))上，如果导数大于(0) ，那么函数在这个区间上就单调递增；如果导数小于(0) ，那么函数在这个区间上就单调递减。
其实这个结论根据我们前面学的导数的几何意义也不难理解。比如(y = f(x)) ，这个函数在(P)点处它的导数大于(0) ，就意味着曲线在(P)点处的切线的斜率是大于(0)的，切线是上升的，那么函数在这一点附近就应该是上升的，即递增。同样在(Q)点处导数是小于(0)的，那么曲线的斜率是小于(0)的，切线就应该是下降的，曲线在(Q)点附近就应该是单调递减的。
那如果有一个函数在某个区间上，导数既不大于(0)也不小于(0) ，恒等于(0) ，那么这样一个函数有什么特性呢？在某个区间内导数恒等于(0) 。
生：是一个常函数。
师：对了，只能是一个常函数，它在每一点都不增不减，所以在这个区间内只能是一个常函数。通过上面我们的探讨，从这个结论出发，我们要判断函数的单调性，知道它的导数的正负就可以了。那么从导数的正负我们也就可以看出原函数的增减。比如已知导函数具有下列性质，(x)在((1, 4))之间的时候，导数大于(0) ，那么就意味着原函数在((1, 4))之间是单调递增的。在((1, 4))之外，导数是小于(0)的，所以在(x < 1)或者(x > 4)的时候，这个函数是单调递减的。当(x = 1)和(x = 4)的时候，导数是等于(0)的，这是两个临界点，就像我们刚才讲的进服务区。那么从这些特性我们就可以大致地把这个(f(x))的图像画出来了。
当然这个图像向上平移或向下平移都可以，不是唯一的。那么利用这种关系，我们怎么去判断函数的单调性呢？请看，判断下列函数的单调性，并求出单调区间。
第一个(f(x) = x^3 + 3x) ，我们要确定这个函数的单调性，只需要判断它导数的正负就可以了。它的导数(f^\prime(x) = 3x^2 + 3) ，显然这是大于(0)的，所以它在(R)上这个函数都是单调递增的。我们带大家一起验证一下，看看它的图像。
（展示函数图像）这个函数(x^3 + 3x)的图像，为了让大家看清，我们把纵向压缩一下，大家能看得更清楚，在整个(R)上都是单调递增的。
我们再看第二个，(f(x) = x^2 - 2x + 3) ，这是一个二次函数图像，大家熟悉的抛物线，开口向上，对称轴是(x = 1) 。这样当(x < 1)的时候单调递减，(x > 1)的时候单调递增。好，我们再看看从导数的角度，这个函数的导数(f^\prime(x) = 2x - 2) ，令(f^\prime(x) > 0) ，我们可以得到(x > 1) ，这时候函数单调递增；令(f^\prime(x) < 0) ，可以得到(x < 1) ，函数单调递减。这样函数单调递增区间就应该是((1, +\infty)) ，递减区间就应该是((-\infty, 1)) 。
再看(f(x) = \sin x - x) ，(x \in (0, \pi)) ，它的导函数(f^\prime(x) = \cos x - 1) 。由于(x)在((0, \pi))范围内，(\cos x < 1) ，因此导函数小于(0) ，所以(f(x))在((0, \pi))范围内单调递减。如果把这里(x \in (0, \pi))这个范围去掉，大家来看这个函数的导函数(f^\prime(x) = \cos x - 1) ，(\cos x)总是小于等于(1)的，仅仅在(x = 2k\pi)（(k \in Z)）上它才等于(1) ，其他时候都是小于(1)的，所以(f^\prime(x) \leq 0) ，仅仅在个别点，像(x = 2k\pi)这样的点，它是等于(0)的，而这些孤立的点是不会改变函数单调性的，所以这个函数实质上在(R)上是单调递减的。我们带大家看下图像。
（展示函数图像）大家看这个函数在((0, \pi))这一段上显然是单调递减，其实在整个(R)上都是单调递减的，这就是我们刚才前面提的问题。
再看(f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 24x + 1) ，大家看我们要判断这个函数的单调性，先求导，(f^\prime(x) = 6x^2 + 12x - 24) ，提取(6)得到(6(x^2 + 2x - 4)) 。令导数大于(0) ，也就是(x^2 + 2x - 4 > 0) 。根据求根公式，一元二次方程(x^2 + 2x - 4 = 0)的两根是(x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4\times(-4)}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}) 。两根之外，即(x < -1 - \sqrt{5})或者(x > -1 + \sqrt{5})时，导数大于(0) ，函数单调递增。那么当导数小于(0)的时候，也就是(x^2 + 2x - 4 < 0)的时候，两根之间，即(-1 - \sqrt{5} < x < -1 + \sqrt{5})时导数小于(0) ，函数单调递减。因此这个函数的单调递增区间就应该是((-\infty, -1 - \sqrt{5}))，(( -1 + \sqrt{5}, +\infty)) ，注意这两个区间之间只能用顿号，不可以写成并集；单调递减区间应该是(( -1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5})) 。我们再从图像角度印证一下。
（展示函数图像，纵向压缩）为了让大家看得清楚，这就是小根(-1 - \sqrt{5})的位置，这是大根(-1 + \sqrt{5})的位置，在((-\infty, -1 - \sqrt{5}))这一段是单调递增，(( -1 - \sqrt{5}, -1 + \sqrt{5}))这一段单调递减，(( -1 + \sqrt{5}, +\infty))再递增。
好，我们再看看，如果按照我们本来定义，设(x_1)，(x_2 \in (0, 2)) ，(x_1 < x_2) ，做差变形，然后判定符号证明(f(x_1) > f(x_2)) ，这样才能得到函数是单调递减。
那如果从导数的角度大家看，我们只需要求它的导数(f^\prime(x) = 6x^2 - 12x) ，提取(6x)出来，即(6x(x - 2)) 。因为(x \in (0, 2)) ，所以(6x(x - 2))是一个小于(0)的数，所以导数小于(0) ，所以这个函数就在((0, 2))上单调递减，是不是方便许多啦？
好，我们一起把这节课小结一下。首先，我们回顾了判断函数单调性的常用方法，有图像法、定义法、变量分析法，最后探究了导数法。第二，函数的单调性与函数的导数都是反映函数变化情况的，二者之间有什么关系呢？我们通过探究得到，在某个区间((a, b))内，如果导数大于(0) ，那么函数在这个范围内单调递增；如果导数小于(0) ，那么函数在这个区间内单调递减。这里留一个思考题给大家，这个结论反过来是否成立？第三，利用导数求函数单调性的一般步骤，先求导，由导数大于(0)或小于(0)解不等式，求得单调区间。最后写单调区间时候要注意定义域。第四，从特殊到一般得到的结论不一定可靠，但是却是我们发现问题的一种重要思维方式。
这节课的作业：练习的(1 - 3)题和习题的第一题和第二题的各两个小题。那么这节课就上到这，同学们再见。