师：同学们好，今天我们一起学习第一章1.5.3定积分的概念。上节课，我们已经学习了曲边梯形的面积和变速直线运动路程的求法。那么，从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程中，两者之间有什么共同之处呢？
可以看出，它们都通过“四部曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题。
曲边梯形的面积(S)等于(\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i})\Delta x)，当(\Delta x \to 0)时的极限值。它还可以具体写成(\lim_{n \to +\infty}\frac{b - a}{n}\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i})) 。
变速直线运动的路程(s)等于(\sum_{i = 1}^{n} v(\tau_{i})\Delta t_{i})，当(\Delta t \to 0)时的极限值，也可以写成(\lim_{n \to +\infty}\frac{b - a}{n}\sum_{i = 1}^{n} v(\tau_{i})) 。
从这两个结果来看，它们还有第二个共同之处，即结果都是特定形式和的极限。事实上，有许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限。我们把这种特定形式和的极限定义为定积分，这就是我们今天要学习的内容。请同学们把课本翻到45页。
如果函数(f(x))在区间([a, b])上连续，用分点(x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{i - 1}, \cdots, x_{n - 1}, x_{n})，我们把(a)记为(x_{0})，(b)记为(x_{n})，这样就将区间([a, b])等分成(n)个小区间。在每个小区间([x_{i - 1}, x_{i}])上任取一点(\xi_{i})（(i = 1, 2, \cdots, n)），作和式(\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i})\Delta x)，它等于(\frac{b - a}{n}\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i})) 。当(n \to +\infty)时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数(f(x))在区间([a, b])上的定积分，记作(\int_{a}^{b} f(x)dx)。也就是说，(\int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{n \to +\infty}\frac{b - a}{n}\sum_{i = 1}^{n} f(\xi_{i}))。
从定积分的定义来看，它经历了我们所说的第一步分割，第二步近似代替，第三步求和，第四步取极限。这里我们将区间([a, b])等分成小区间，其实不一定要等分，只要保证(\Delta x \to 0)就行。同时，在区间([x_{i - 1}, x_{i}])上我们是任取(\xi_{i})的，在具体操作时，为了方便计算，我们往往取它为端点值。
我们知道定积分是一个特殊形式和的极限，定积分中有一些特定名称。其中拉长的(S)叫做积分号，(f(x)dx)叫做被积式，(f(x))为被积函数，(x)称为积分变量，(a)作为积分下限，(b)为积分上限，([a, b])区间叫做积分区间。注意，定积分是一种特定形式和的极限，是一个常数，它的值取决于被积函数和积分区间，与积分变量用什么字母表示无关。例如，(\int_{a}^{b} f(x)dx)以(x)为积分变量，和(\int_{a}^{b} f(t)dt)以(t)为积分变量，以及用(y)作为积分变量，积分值都是一样的。
之前我们在1.5.1中学习的曲边梯形的面积就可以写成积分的形式，比如曲边梯形的面积(S)可以写成(\int_{0}^{1} f(x)dx)，具体若(f(x)=x^{2})，则(\int_{0}^{1} x^{2}dx = \frac{1}{3})。而在1.5.2中，汽车在(t \in [0, 1])时段内经过的路程(s)等于(\int_{0}^{1} v(t)dt)，具体若(v(t)= - t^{2} + 2)，则(\int_{0}^{1} (- t^{2} + 2)dt)结果等于(\frac{5}{3}) 。
曲边梯形的面积可以写成定积分的形式，反过来，在区间([a, b])上，若函数(f(x))连续且恒有(f(x) \geq 0)，那么(\int_{a}^{b} f(x)dx)的值可以表示为由直线(x = a)，(x = b)，(y = 0)和曲线(y = f(x))围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。
同学们，根据定积分的几何意义，大家能用定积分表示下图中阴影部分的面积(S)吗？在曲边梯形(a, d, c, b)中，它的面积(S)等于曲边梯形(AMNB)减去曲边梯形(DMNC)，即(S = \int_{a}^{b} f_{1}(x)dx - \int_{a}^{b} f_{2}(x)dx)。这里曲边梯形(AMNB)可以用(\int_{a}^{b} f_{1}(x)dx)表示，曲边梯形(DMNC)可以用(\int_{a}^{b} f_{2}(x)dx)表示。
通过对定积分定义的学习，我们了解了什么是定积分，接下来看如何求解定积分。
例一，利用定积分的定义计算(\int_{0}^{1} x^{3}dx)。这里被积函数是(y = x^{3})，此函数是奇函数，积分区间是([0, 1])。
按照定积分的定义，第一步，将区间([0, 1])等分成(n)个小区间([\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}])（(i = 1, 2, \cdots, n)），每个区间的长度(\Delta x = \frac{1}{n})。
第二步，近似代替求和，取(\xi_{i} = \frac{i}{n})（(i = 1, 2, \cdots, n)），也就是取区间的右端点，则(\int_{0}^{1} x^{3}dx \approx \sum_{i = 1}^{n} f(\frac{i}{n})\Delta x) 。
把(\frac{i}{n})代入(x^{3})可得((\frac{i}{n})^{3})，那么(\sum_{i = 1}^{n} f(\frac{i}{n})\Delta x = \sum_{i = 1}^{n} (\frac{i}{n})^{3} \cdot \frac{1}{n})。由于(\frac{1}{n})与(\frac{1}{n^{3}})在每一项中都有，所以可将(\frac{1}{n^{4}})提取出来，即(\frac{1}{n^{4}}\sum_{i = 1}^{n} i^{3})。
这里要借助一个公式：(1^{3} + 2^{3} + \cdots + n^{3} = \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2})。代入可得(\frac{1}{n^{4}} \cdot \frac{1}{4}n^{2}(n + 1)^{2})，约去(n^{2})后式子化为(\frac{1}{4}(1 + \frac{1}{n})^{2})。