师：各位同学，大家好！今天我们一起来学习选修1-2第二章“推理与证明”的第一节——合情推理。无论在科学探索还是数学研究中，推理和证明都是人类不可或缺的思维过程。科学研究需要推理与证明，本章将结合生活与数学实例，了解两种基本推理——合情推理和演绎推理，以及两类基本证明——直接证明和间接证明，感受逻辑证明在数学和日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
我们先来看两张图片。这是2019年9月7日嘉陵江某段江底的景象，从图中可以看到河床已经干涸。这是因为前段时间西南地区干旱严重，局部甚至出现重度干旱。根据中央气象台9月6日发布的天气预报，西南地区未来一段时间降水可能性不大，旱情还将持续并可能扩大。
同学们请思考：天气预报是怎么预测出来的？我们知道，全国各地分布着许多气象台，天上还有气象卫星，它们收集各类信息，经计算机加工处理后，由气象专家进行分析预测。在整个过程中，最关键的一环正是气象专家的预测——这种预测本身就是一种推理。
再看第二幅图。谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯。”意思是，如果中秋之夜乌云遮月，那么来年元宵节就很可能会下雪。这是通过观察头年中秋的天气，推测来年元宵的天气。这也是一种推理。
华罗庚教授曾举过一个生动的例子：从一个袋子里摸出第一个红玻璃球，第二个还是红玻璃球，第三、第四、第五个都是红玻璃球时，我们马上会猜想：是不是袋子里全是红玻璃球？但当摸出一个白玻璃球时，这个猜想失败了；于是我们产生第二个猜想：是不是袋子里都是玻璃球？接着摸出一个木球，猜想再次失败；此时我们又有第三个猜想：是不是袋子里全是球？这个猜想对不对？还需要继续检验。
可见，推理在日常生活中无处不在。今天我们就来学习一种非常重要的推理——合情推理。首先，我们复习一下推理的相关概念。
推理的定义是：从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程。简单说，推理就是由已知命题推出新命题的思维过程。已知命题是前提，新命题是结论。一个完整的推理包含前提和结论两部分。
下面我们通过几个例子来探究学习中的推理。
例一：铜能导电，铁能导电，金能导电，银能导电……我们猜想：一切金属都能导电。
例二：三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°……我们猜想：凸n边形的内角和为(n-2)×180°（n≥3）。
这两个推理有什么共同点？
生：它们都是从部分事物具有的性质，推出整体事物也具有该性质；或者说，由个别事物的性质推出一般事物的性质。
师：说得很好！我们再来看一个数学史上著名的猜想——哥德巴赫猜想。数学家哥德巴赫无意中发现：3+7=10，13+17=30……他把这些式子改写成：10=3+7，20=3+17，30=13+17，从而发现一个规律：偶数可以写成两个奇数的和。于是他产生一个想法：10、20、30都是偶数，其他偶数是否也有类似规律？他继续验证：6=3+3，8=3+5，10=5+5……一直验证到1000=29+971，1002=139+863等等。根据这些，哥德巴赫大胆猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇数的和。
这个结论他是怎么得到的？
生：他是从特殊的算式出发，通过观察、归纳，得出一般性结论。
师：对！这就是我们今天要学习的一类重要推理——归纳推理。
归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
根据定义，归纳推理的特点是什么？
生：由部分到整体、由个别到一般。
师：归纳推理的基础是观察与实验，作用是发现新事实、获得新结论，关键是进行分析与归纳。结合前面三个实例，归纳推理的过程可以概括为：从具体材料出发，经过大量观察分析，最后猜想出一般性结论。
下面我们通过几个实例加深对归纳推理的理解。
例1：计算下列各式的值。
（1）请同学们先算出前四个算式的结果。
生：1×1=1；11×11=121；111×111=12321；1111×1111=1234321。
师：根据前四个算式的结构特点，你能猜出第七个算式的结果吗？
生：1234567654321。
师：正确！这是一种归纳推理，大家可以用计算器验证。
（2）设f(n)=n²+n+41，n∈N*，计算f(1)到f(6)的值，并作出归纳，再用n=40验证猜想是否正确。
生：f(1)=43，f(2)=47，f(3)=53，f(4)=61，f(5)=71，f(6)=83。这六个数都是质数。
师：那么我们能得出什么猜想？