师：同学们，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。今天我们要学习的内容是高中数学人民教育出版社A版选修2 - 3第一章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理的第一课时。首先，来看这样一则新闻：2019年末，合肥市民用汽车拥有量达到217.57万辆，比上年增长12.2%。其中，私人汽车达186.86万辆，增长12.6%；民用轿车的拥有量有138.72万辆，增长11.8%，其中私人轿车达128.33万辆，增长11.4%。
新闻用这四组数据，清晰地展示了合肥市民用汽车拥有量以及2019年的增长情况。准确计数能帮助我们清晰、客观地了解事实。另一方面，每辆汽车都有牌照。假设合肥市汽车牌照的形式为“皖A”加5个字符，编排规则是每个字符可使用0 - 9这十个阿拉伯数字和除O、I、Y外的24个大写英文字母。
大家想一想，按照这样的方式编排，会有多少种不同的号牌呢？没错，这会是一个非常大的数字，因为它至少要囊括217.57万辆汽车的牌照，实际数量肯定比这个更多。那它具体是多少呢？这个问题实际上就是计数问题。从古至今，人们一直在研究计数问题。上古时期，人们在长期的劳动和生活中产生了计数的需要，从熟悉的结绳记事发展到书契记事，后来为了便于携带，又发展为算筹计数。随着物质的极大丰富，计数方法也在逐渐演变。
回到汽车牌照的问题，我们怎样不用一个一个地数，就能确定完成这件事的方法数呢？这就是我们今天要学习的计数原理。计数原理是人们在大量实践经验的基础上归纳出来的基本规律，它的思想会贯穿本章的学习。
首先，看情境一：用一个大写英文字母或一个阿拉伯数字0 - 9给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？为了完成给教室座位编号这件事，有两类方案。第一类，用一个英文字母，有26种不同的方法；第二类，用一个阿拉伯数字，有10种不同的方法。由于每个英文字母和每个阿拉伯数字都不相同，所以它们编出的号码也不同。那么，给座位编号这件事共有26 + 10 = 36种方法。
下面，走出教室解决一个实际问题：从合肥到北京，可以选择坐火车或飞机，火车每天有5个班次，飞机每天有10个班次。现某同学欲从合肥到北京，共有多少种选择呢？为了完成从合肥到北京这件事，同样有两类方案，乘火车或乘飞机。乘火车有5种不同方法，乘飞机有10种不同方法，每一趟火车和每一趟飞机各不相同，所以从合肥到北京共有5 + 10 = 15种方法。
同学们，说说以上两个问题有哪些共同特征？它们研究的都是完成一件事共有多少种不同的方法。在解决问题的过程中，都分为两类，最终的结果是两类方法数的和。我们弱化问题的实际背景，抽象成数学问题就是：完成一件事共有多少种不同的方法，解决过程分为两类，最终结果是两类方法数的和。现在，我们构建一个一般的数学模型来解决这类问题。
如果完成一件事，有两类不同的方案，其中第一类方案中有m种不同的方法，第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有m + n种不同的方法。这就是我们今天要学习的第一个计数原理——分类加法计数原理。需要注意的是，每一类中的每一种方法都能够独立完成这件事。
让我们回到实际中，运用所学解决一个实际问题。在填写高考志愿表时，一名高中生了解到，A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业。A大学有生物学、化学、医学和物理学；B大学有数学、汉语言文学、信息技术学和历史学。如果这名同学只能选择一个专业，他共有多少种选择呢？
完成选择一个专业这件事分为两类，按学校分。第一类在A大学中选择，有4个不同专业；第二类在B大学中选择，也有4个不同专业。那么，可能的专业选择总数共有4 + 4 = 8种，这完全符合我们分类加法计数原理的内容。
现在，如果还有C大学可供选择，C大学的强项专业有土木工程学和建筑学，那么这名同学又有多少种选择呢？加入C大学后，专业总数变多了，但每个大学的专业各不相同。我们继续按大学分类，完成选择一个专业这件事分为三类。第一类从A大学中选择，有4种方案；第二类从B大学中选择，有4个不同专业；第三类从C大学中选择，有2个不同专业。这些专业各不相同，选一个出来就可完成选择专业这件事，所以可能的选择专业总数共有4 + 4 + 2 = 10种。
我们注意到，分类时要做到不重不漏，以便运用加法原理解决问题。同时，加入C大学后，完成一件事的分类变多了，最终结果是三类方法数的和。现在，我们把分类加法计数原理进行扩充：完成一件事有n类不同的方案，第一类方案中有M1种不同的方法，第二类方案中有M2种不同的方法，一直到第n类方案中有Mn种不同的方法，那么完成这件事共有M1 + M2 + … + Mn种不同的方法，也就是各类方法总数之和。在使用分类加法计数原理时，要注意分类做到不重不漏，每一种具体方法在且仅在一类方法中，各类方法中的每一种具体方法都可以独立完成这件事。
下面，运用所学解决一个数学问题：由不等式组(\begin{cases}1\leq x\leq10\1\leq y\leq10\x + y\leq11\end{cases})所确定的平面区域内整数点的个数是多少？
这是确定出的平面区域以及其中的整数点。我们运用刚才学过的分类加法计数原理，将这些整数点合理分类。可以考虑第一列中每个点的横坐标都是1，第二列中每个点的横坐标都是2，第三列、第四列……一直到第10列，每一列中点的横坐标各不相同，以此作为分类依据。第一类横坐标为1的点有10个，第二类横坐标为2的点有9个，第三类横坐标为3的点有8个，一直到横坐标为10的点有1个。那么，最终整数点的个数是这10类方法数之和，也就是(10 + 9 + \cdots + 1)，根据等差数列求和公式，最终有55个整数点。
下面再看一个实际问题：衣柜里有3件不同的上衣，4条不同的裤子。
（1）若从中选出一件服饰，有多少种不同的取法？选出一件服饰，选择一件上衣或一条裤子就可完成这件事，符合分类加法计数原理，共有3 + 4 = 7种。