师：同学们好，欢迎来到今天的数学课堂。请大家拿出课本和草稿本，我们开始今天的学习。首先，回顾一下上节课的知识。上节课，我们学习了基本初等函数的导数公式，将这8个导数公式分为四类：第一类是常数函数和幂函数；第二类是正弦函数和余弦函数；第三类是指数函数；第四类是对数函数。掌握这些公式后，我们就能直接求出基本初等函数的导函数。接着，我们又学习了两个函数加减乘除的导数运算法则。借助这些导数运算法则和公式，我们可以求出一些简单函数的导函数，进而更好地分析函数在各点处的导数情况。
下面，我们探讨一个与导数相关的问题：如何求曲线(y = \ln(2x + 1))在(x = 0)处的切线方程？同学们回顾一下，求曲线在某点处的切线方程，关键是求出切点和斜率。切点就是曲线上(x = 0)时对应的点，当(x = 0)时，(y = \ln(1) = 0)，所以切点为((0,0))。斜率等于该曲线所对应函数在(x = 0)时的导数值。那么，如何求(x = 0)时的导数呢？这就需要先求该函数的导函数。
下面我们来看如何求函数(y = \ln(2x + 1))的导数。有现成的导数公式或者法则吗？我们看这个函数，它不是基本的初等函数，对数函数的形式是(y = \log_a x)，而这里是(\ln(2x + 1))，所以不能用基本初等函数的导数公式求导。那它是不是两个函数加减乘除的形式呢？也不是，所以也无法用运算法则求导。
这个函数究竟是什么样的函数呢？同学们观察一下它的结构特点，可以从函数两个变量之间的关系去分析。好了，同学们有发现吗？这是一个(y)关于(x)的函数，(x)变化时，(y)随之变化。具体来看，(x)是自变量，(x)变化时，(2x + 1)就会变化，而(\ln(2x + 1))的值，也就是(y)，也会跟着变化。这里面，我们令(u = 2x + 1)，(u)也是一个变量，我们称它为中间变量。这样就出现了三个变量(x)、(u)和(y)，这三个变量中，每两个之间都形成一个函数关系。
首先，(u)和(x)之间，(u = 2x + 1)，这是关于(x)的一次函数；其次，(y)和(u)之间，(y = \ln u)，(y)是关于(u)的对数函数；最后，(y)和(x)之间，(y = \ln(2x + 1))，这就是我们要研究的函数。同学们发现了吗？(y = \ln(2x + 1))是由(y = \ln u)和(u = 2x + 1)这两个函数形成的，我们把这个形成过程叫做复合过程。
下面总结一下发现：若设(u = 2x + 1)（(x > -\frac{1}{2})），则(y = \ln u)，从而(y = \ln(2x + 1))可以看成是由(y = \ln u)和(u = 2x + 1)这两个函数复合而成。也就是说，变量(y)可以通过中间变量(u)表示为自变量(x)的函数。
我们再看函数的复合过程。如果把(y)与(u)的关系记作(y = f(u))，(u)和(x)的关系记作(u = g(x))，那么复合过程可以这样表示：首先(y)与(u)的关系是(y = f(u))，然后(u = g(x))，这样就形成了(y = f(g(x)))，也就是(\ln(2x + 1))。这个函数的形成离不开(y = f(u))和(u = g(x))这两个函数，我们称这个函数为复合函数。
具体来看复合函数的概念，一般地，对于两个函数(y = f(u))和(u = g(x))，如果通过变量(u)，(y)可以表示成(x)的一个函数，那么就称这个函数为函数(y = f(u))和(u = g(x))的复合函数，记作(y = f(g(x)))。同学们发现了吗？复合函数的形成离不开(y = f(u))和(u = g(x))这两个函数，我们把(y = f(u))这个函数叫做外层函数，(u = g(x))这个函数叫做内层函数。从符号上也很好理解，(f)函数包含了(g(x))函数，(g(x))函数在(f)函数里面，所以形象地记为内层函数和外层函数。要掌握复合函数的概念，关键要分清哪个是外层函数，哪个是内层函数。同学们理解了吗？
下面来看一个思考题，看看大家是否真正理解了。下列复合函数是由哪些函数复合而成的？指出外层函数和内层函数。第一个(y = (2x + 3)^2)，第二个(y = \sin(2x))。请同学们思考一下。
好，同学们应该想好了，我们一起来看。第一个(y = (2x + 3)^2)，令(u = 2x + 3)，则(y = u^2)。所以这个函数是由(u = 2x + 3)和(y = u^2)这两个函数复合而成，其中(u = 2x + 3)是内层函数，(y = u^2)是外层函数。
再看第二个(y = \sin(2x))，令(u = 2x)，则(y = \sin u)。这样就出现了两个函数，其中(u = 2x)是内层函数，(y = \sin u)是外层函数。同学们理解了吗？
通过刚才的分析，我们知道(y = \ln(2x + 1))是一个复合函数，下面探讨如何求这个复合函数的导函数。类比基本初等函数的导数公式，是否也有类似的公式来求复合函数的导数呢？同学们，类比是数学中一种重要的推理思想。答案是肯定的，复合函数(y = f(g(x)))的导数和它所构成的两个函数(y = f(u))、(u = g(x))的导数之间存在这样的关系：(y_{x}')（这里解释一下，因为有三个变量(x)、(u)、(y)，这个复合函数是(y)关于(x)的函数，为区别求导，记为(y)对(x)的导数）等于(y_{u}')乘以(u_{x}')，也就是(y)对(x)的导数等于(y)对(u)的导数乘以(u)对(x)的导数，即复合函数的导数等于外层函数的导数乘以内层函数的导数。
下面求(y = \ln(2x + 1))这个函数的导数。已知(y = \ln(2x + 1))是由(y = \ln u)和(u = 2x + 1)这两个函数形成的，所以它的导数(y_{x}' = y_{u}' \cdot u_{x}')。(y)对(u)的导数，即(\ln u)的导数是(\frac{1}{u})，(u)对(x)的导数，即(2x + 1)的导数是(2)，所以(y_{x}' = \frac{1}{u} \times 2)。又因为(u = 2x + 1)，所以它的导函数就是(\frac{2}{2x + 1})。