师：同学们好，欢迎来到数学课堂。请大家拿出课本和草稿本，进入今天的学习。上节课我们学习了5种常见函数的导数公式，通过导函数的定义，也就是函数变化率的极限值，推导出了它们的导数。我们一起来回顾一下。第一个，y = c，这是常数函数，它的导数为0。第二个，y = x，导数是1。第三个，y = x2，导数是2x。第四个，y = 1/x，导数是 -1/x2。第五个，y = √x，导数是1/(2√x)。根据这些导函数，我们能方便地分析函数在各点处的导数情况。由此可见，导函数对研究函数性质非常重要。但这些只是常见函数，像y = x3这样的幂函数、y = 3?这样的指数函数、y = log?x这样的对数函数，它们的导函数怎么求呢？同学们想想，如果仍用导函数定义去求，这些函数相对复杂，变化率的计算也更复杂，还要求极限值，而同学们还没系统学习极限知识，所以用定义求导比较困难。仅靠之前学的5个常见函数导数公式是不够的。本节课我们就来学习基本初等函数的导数公式以及运算法则。请同学们把课本翻到第14页，课本上直接给出了8个基本初等函数的导数公式，大家先认真看一看。
师：好，同学们，我们看黑板，一起来分析这些公式。第一个，f(x) = c，c是常数，这是常数函数，导数为0，上节课我们已经分析过了。第二个，f(x) = x?，?是非零有理数，这是幂函数，它的导数等于?乘以x的? - 1次方。大家有没有发现，上节课学的5个常见函数，第一个是这里的常数函数，后面四个都是它的特例。我们来验证一下。x的导数，即x1的导数，当? = 1时，1乘以x的1 - 1次方，也就是x?，结果为1。x2的导数，当? = 2时，2乘以x的2 - 1次方，就是2x。1/x的导数，即x?1的导数， - 1乘以x的 - 1 - 1次方，是 - x?2，也就是 - 1/x2。√x的导数，即x^(1/2)的导数，当? = 1/2时，1/2乘以x的1/2 - 1次方，就是x^(-1/2)，结果为1/(2√x)。这样就用幂函数导数公式验证了上节课几个常见函数的导函数。
师：好，下面继续看。第三个，f(x) = sinx，这是正弦函数，它的导数等于cosx，即sinx的导数是cosx。第四个，f(x) = cosx，它的导函数是 - sinx，也就是余弦函数的导函数是正弦函数的相反数。再看第五个，f(x) = a?，这是指数函数，它的导函数等于a?乘以lna，同学们要记好。第六个，f(x) = e?，这是以e为底的指数函数，显然是第五个的特例。当a = e时，代入第五个公式，因为lne = 1，所以它的导函数就等于e?，即e?的导函数还是它本身。同学们，以后会发现这个函数很好记。
师：我们再看第7个，f(x) = log?x，这是对数函数，它的导数是1/(x·lna)，这个难记一点，同学们要特别记好。第八个，f(x) = lnx，这是自然对数，是第7个的特例。当a = e代入后，分母就是x，所以它的导函数就是1/x，即lnx的导数是1/x，而1/x的导数是 - 1/x2，同学们不要搞混了。这样我们就给出了8个基本初等函数的导数公式，这些公式都能用定义证明，但这里不做要求，同学们记住并会用就行。好，下面请大家动手求一下刚才提到的几个函数的导函数。
师：好，我们来看第一个，x3，这是幂函数，用公式2求导，3乘以x的3 - 1次方，结果是3x2。第二个，3?，是指数函数，用公式5，它的导函数等于3?乘以ln3。第三个，log?x，用公式7，导函数是1/(x·ln3)。同学们，求出来了吗？这些公式看起来有点多，为方便大家记忆，我们把这8个导数公式分成几类。第一类是公式1和公式2，分别是常数函数和幂函数；第二类是公式3和公式4，都是三角函数；第三类是公式5和公式6，是指数函数；第四类是公式7和公式8，是对数函数，这样记起来就方便多了。好，下面我们来看一个跟导数有关的实际问题。假设某国家在20年期间年均通货膨胀率为5%，物价p与时间t的函数关系为p(t) = p?·(1 + 5%)?，其中p?为t = 0时的物价。假定某种商品p? = 1，那么在第十个年头，这种商品价格上涨的速度大约是多少？同学们，我们要先理解第十个年头商品价格上涨速度的数学含义，它实际上就是这个函数在t = 10时的导数值，也就是导函数在t = 10时的取值。下面我们来求它的导函数。
师：当p? = 1时，函数解析式是1.05?，这是指数函数，根据指数函数导数公式，它的导函数等于1.05?乘以ln1.05。再把t = 10代入，用计算器可得其值约为0.08。也就是说，第十个年头，这种商品价格约以0.08元/年的速度上涨。好了，下面我们把例题修改一下。
师：如果上述商品p? = 5，那么在第十个年头，这种商品价格上涨的速度大约又是多少？显然，我们还是要求出它的导函数。当p? = 5时，函数变为5×1.05?。同学们想一想，还能用导数公式直接求导吗？不行，为什么呢？因为此时它不再是指数函数，而是指数型函数，没有现成公式求导。那怎么办呢？我们可以把这个函数看作两个函数乘积的形式，一个是f(t) = 5，一个是g(t) = 1.05?。要求p关于t的导数，就可以求f(t) = 5与g(t) = 1.05?乘积的导数。下面我们来探讨如何求两个函数乘积的导函数，这就要用到导数的运算法则。请同学们把课本翻到第15页，看一下给出的导数运算法则。
师：好，同学们，看大屏幕，下面的导数运算法则能帮助我们解决两个函数加减乘除的求导问题。我们一起来分析。第一个，[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)，这是两个函数加减的导数法则。注意，左边是两个函数相加的导数，右边就是这两个导函数之和；左边是两个函数相减的导数，右边就是这两个导函数之差。我们再看第二个，[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)，这个复杂一点，不是简单的f'(x)·g'(x)，要记好，是第一个函数的导数乘以第二个函数，再加第一个函数乘以第二个函数的导数。大家可以这样记，结果是两个乘积之和，每个乘积一个是函数的导数，一个是原函数。当然，对谁先求导没关系，因为是和的形式，也可以是f(x)·g'(x) + f'(x)·g(x)。