师：同学们好，前面我们学习了合情推理与演绎推理。合情推理包括归纳推理和类比推理，而演绎推理的一般模式是三段论。今天我们在此基础上，进一步学习合情推理与演绎推理在数学发现活动中的应用。下面请看问题一，判断下列推理分别属于什么推理，并判断结论是否正确。先看推理一。
（稍作停顿）我们知道推理一是归纳推理，根据等差数列前n项和公式，其结果是正确的。再请看推理二。
（稍作停顿）推理二是类比推理，其结论是错误的。因为此数的公式与台体的体积公式不符合，所以它是错误的。接着看推理三。
（稍作停顿）推理三是演绎推理，其结论是正确的。通过前面的学习和刚刚的复习，请大家思考一下，合情推理和演绎推理有什么区别和联系呢？
（稍作停顿）下面我以一张表格来加以说明。合情推理包括归纳推理和类比推理。从推理形式来看，归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理，而演绎推理是从一般到特殊的推理。从推理结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明，但其结论具有发现性；而演绎推理在前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确。它们的联系是，合情推理的结论需要演绎推理加以论证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。这就是合情推理与演绎推理的区别和联系。
下面我们来看一道例题。我们知道前n个正整数的和为(n(n + 1)÷2)，那么前n个正整数的平方和等于多少呢？请大家思考一下。
（稍作停顿）这是一个数列求和问题。对于数列求和问题，我们主要先分析其通项，通过通项的结构去联想方法。而这个数列的通项是(n2)，其结构比较特殊，以致我们以前所学的常规求和方法都不管用。那么请大家思考一下，我们能不能利用本章所学的知识来进行求解呢？
（稍作停顿）可能有的同学想到了归纳推理，下面我们一起来看一下。
我们令(n = 1)的时候，(S_{2n}=1)；(n = 2)的时候，(S_{2n}=5)；(n = 3)的时候，(S_{2n}=14)；(n = 4)的时候，(S_{2n}=30)。大家看这四项有没有什么规律？
（稍作停顿）好像没有什么明显的规律，我们继续算。当(n = 5)时，(S_{2n}=55)；当(n = 6)时，(S_{2n}=91)。请大家继续观察(S_{2n})的前6项，看有没有什么明显的规律。
（稍作停顿）好像仍然没有什么明显的规律，那下面我们该怎么办呢？可能有的同学想到了(S_{1n})和(S_{2n})之间是否存在某种联系，下面我们一起来看一下。
当(n = 1)时，(S_{1n}=1)；(n = 2)时，(S_{1n}=3)；(n = 3)时，(S_{1n}=6)；(n = 4)时，(S_{1n}=10)；(n = 5)时，(S_{1n}=15)；(n = 6)时，(S_{1n}=21)。下面请大家观察(S_{1n})和(S_{2n})这两行之间的数据有没有什么规律？
（稍作停顿）可能有的同学仍然没有看出什么规律，下面老师给大家提供一个思路。比方说我们可以把这两组数据相加、相减、相乘或者相除，看看它们的结果有没有什么规律。
（稍作停顿）可能有的同学已经发现规律了，当我们把(S_{2n})比上(S_{1n})的时候，它们的值是有规律的。当(n = 1)时，(S_{2n}÷S_{1n}=1)，写成(\frac{3}{3})；当(n = 2)时，(S_{2n}÷S_{1n}=\frac{5}{3})；当(n = 3)时，(S_{2n}÷S_{1n}=\frac{7}{3})；当(n = 4)时，(S_{2n}÷S_{1n}=3)，写成(\frac{9}{3})；当(n = 5)时，(S_{2n}÷S_{1n}=\frac{11}{3})；当(n = 6)时，(S_{2n}÷S_{1n}=\frac{13}{3})。从而可以发现(S_{2n}÷S_{1n})，它们的分母都是3，分子是一个等差数列。
从而可以猜想，(S_{2n}÷S_{1n}=\frac{2n + 1}{3})。又因为(S_{1n}=\frac{1}{2}n(n + 1))，从而可以得到(S_{2n}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})。但是此结果是在归纳猜想的基础上得到的，所以其结论的正确性有待于进一步论证。刚刚我们通过归纳推理得到了一个猜想，那下面大家能不能通过类比推理也得出一个猜想呢？
（稍作停顿）可能有的同学已经发现了(S_{1n}=\frac{1}{2}n(n + 1)=\frac{1}{2}n2 + \frac{1}{2}n)，它是关于(n)的一个二次函数的形式。所以我们猜想(S_{2n})可能是(n)的一个三次函数的形式，于是我们猜想(S_{2n}=an3 + bn2 + cn + d)。那下面如何求(a)、(b)、(c)、(d)这4个未知数呢？
由于要求4个未知数，所以需要4个方程。我们只需在此方程的基础上分别取(n = 1)、(2)、(3)、(4)，从而可以得到一个方程组。通过求解该方程组，我们可以得到(a = \frac{1}{3})，(b = \frac{1}{2})，(c = \frac{1}{6})，(d = 0)。从而可以得到(S_{2n}=\frac{1}{3}n3 + \frac{1}{2}n2 + \frac{1}{6}n)。经过因式分解，我们可以得到(\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})。由于该结果是在类比推理的基础上得到的，所以其结论的正确性仍然有待于进一步论证。下面我们将从演绎推理的角度来对该结论进行验证。
前面我们已经对这个数列的通项(n2)加以分析了，由于其结构比较特殊，下面我们应该对(n2)加以转化。比方说我可以把(n2)写成((n - 1 + 1)2)，然后把(n - 1)看成一个整体，我们可以得到((n - 1)2 + 2(n - 1) + 1)。那此时怎么能出现(12 + 22 + \cdots + n2)呢？实际上我们只要在这个方程的两边分别让(n)取(1)、(2)、(3)、(\cdots)、(n)，就可以得到(n)个方程，再把(n)个方程相加，就可以出现(12 + 22 + \cdots + n2)。下面我们一起来看一下。
当(n = 1)的时候，可以得到(12 = 1)；当(n = 2)的时候，可以得到(22 = 12 + 2×1 + 1)；当(n = 3)的时候，我们可以得到(32 = 22 + 2×2 + 1)；当(n = 4)的时候，可以得到(42 = 32 + 2×3 + 1)；当(n)取(n)的时候，我们可以得到(n2 = (n - 1)2 + 2(n - 1) + 1)。下面将上述(n)个式子相加，可以发现左边相加正好是(S_{2n})，那这(n)个方程右边相加是一个什么结果呢？
右边相加它有(12 + 22 + \cdots + (n - 1)2)，可以写成(S_{2n} - n2)。右边还有(2×1 + 2×2 + \cdots + 2×(n - 1))，它可以写成(2(S_{1n} - n))。右边还有(n)个(1)相加，可以写成(n)。从而将上述(n)个式子相加，我们可以得到(S_{2n}=S_{2n} - n2 + 2S_{1n} - n + n)。这样得到了一个新的方程，在这个新的方程里面，我们可以把两边的(S_{2n})约去，从而可以求出(S_{1n}=\frac{1}{2}n(n + 1))。此时并没有得到我们想要的(S_{2n})，反而把(S_{1n})算出来了。但是这种方法对你有没有什么启发呢？
（稍作停顿）可能有同学想到了，当我把(n2)进行转化，可以求出(S_{1n})，那如果我把(n3)进行转化，是否可以求出(S_{2n})？下面我们一起来看一下。
我们将(n3)写成((n - 1 + 1)3)，它可以写成((n - 1)3 + 3(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1)。类比上面的方法，当(n = 1)时，我们可以得到(13 = 1)；当(n = 2)的时候，我们可以得到(23 = 13 + 3×12 + 3×1 + 1)；当(n = 3)的时候，我们可以得到(33 = 23 + 3×22 + 3×2 + 1)；当(n = 4)的时候，我们可以得到(43 = 33 + 3×32 + 3×3 + 1)；当(n)取(n)的时候，我们可以得到(n3 = (n - 1)3 + 3(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1)。
我们将上述(n)个式子相加，令(S_{3n}=1 + 23 + 33 + \cdots + n3)，此时将上述(n)个方程相加，可以得到一个新的方程。这个新的方程的左边它就是(S_{3n})，那方程的右边是什么呢？
我们看方程的右边有(13 + 23 + \cdots + (n - 1)3)，它可以写成(S_{3n} - n3)。方程的右边还有(3×12 + 3×22 + \cdots + 3×(n - 1)2)，它可以写成(3(S_{2n} - n2))。右边还有(3×1 + 3×2 + \cdots + 3×(n - 1))，它可以写成(3(S_{1n} - n))。方程的右边还有(n)个(1)，可以写成(n)。从而把上述(n)个式子相加，我们可以得到(S_{3n}=S_{3n} - n3 + 3(S_{2n} - n2) + 3(S_{1n} - n) + n)。在这个新的方程里面，我们可以把(S_{3n})约去，此时方程里面还有(S_{1n})和(S_{2n})。由于(S_{1n}=\frac{1}{2}n(n + 1))，从而可以得到(S_{2n}=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6})。