师：同学们，大家好。今天我们继续学习人教A版选修2 - 2第一章第七节定积分的简单应用的第二课时——定积分在物理中的应用。上节课，我们学习了用定积分解决求曲边梯形面积的问题，步骤如下：一是画图确定所求图形；二是确定被积函数和积分区间；三是写出平面图形面积的积分表达式；四是计算定积分求出面积。那么在物理中，定积分同样有着重要作用。我们采用以不变代变的方法，将变速直线运动的物体的路程问题转化为匀速直线运动的物体的路程问题。
对于做变速直线运动的物体，其速度函数为(v = v(t))，当(v(t) \geq 0)时，在时间区间([a, b])上所经过的路程(s)如何用积分表示呢？可以表示为速度函数(v(t))在([a, b])上的定积分来求这样的路程。接下来看这样一道例题，一辆汽车的速度关于时间的曲线如图所示，求汽车在这一分钟行驶的路程。
按照刚才的思路，我们得先求出它的速度关于时间的函数表达式。根据图像，通过(A)点和(O)点的坐标，可知(OA)这个线段的函数解析式应该为(y = 3t)，(t \geq 0)且(t \leq 10)。而在(AB)这一段时间，当(t)在(10)到(40)之间时，(v)恒等于(30)。在(BC)这段，利用(B)点坐标((40, 30))，(C)点坐标((60, 0))，可以求出(BC)所在直线(v)应该等于(-1.5t + 90)。
这里我们将其写成了分段函数，为了让定积分有意义，区间端点都包含进去了。这时候我们按照刚才的方法来求解这一分钟的路程，在(0)到(10)这个时间段，速度(3t)在([0, 10])上的定积分代表了这段的路程；(30)在([10, 40])这段的定积分代表这个时间段的路程；(-1.5t + 90)这个速度在([40, 60])上的定积分求出了这个时间段的路程，将它们全部相加，就能得出今天的路程。再利用公式分别计算这(3)个定积分的值。
(3t)的原函数为(\frac{3}{2}t^{2})，它在(10)处与(0)处的差值加上(30t)在(40)与(10)处的差值以及(-\frac{3}{4}t^{2} + 90t)在(60)与(40)处的差值代入，得出最后的路程为(1350)米。所以，汽车在这一分钟行驶的路程是(1350)米。那么今天这个问题还可以如何解决呢？
我们知道由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，我们可以将路程转化为图中梯形(OABC)的面积来进行求解。所以我们直接由梯形的面积公式，上底(AB)线段的长度(40 - 10 = 30)，加上下底(OC)的长度(60)，乘以高(30)再除以(2)，也得出了这段路程为(1350)米。
那么我们再来看看物理中的其他问题。一个物体在恒力(F)的作用下做直线运动，如果物体沿着与(F)相同的方向移动了(s)，则力(F)所做的功为(W = F \times s)。那么如果物体在变力(F(x))的作用下做直线运动，并且物体沿着与(F(x))相同的方向从(x = a)移动到(x = b)（(a < b)），那么如何计算变力(F(x))所做的功(W)呢？
我们仍然按照之前的四部曲来完成：一是分割，在([a, b])区间上等间隔地插入(n - 1)个点，将区间等分成(n)个小区间；二是近似代替，以不变代变，在每个小区间内变力(F(x))做的功可以近似地代替为这个小区间内的某一个力(F(x_{i}))乘以(\Delta x)；三是求和，将(n)个小区间内做功的近似值全部加起来，即(\sum_{i = 1}^{n} F(x_{i}) \Delta x)；四是取极限，和的极限值为变力(F(x))作用下，物体沿(F(x))方向由(x = a)移到(x = b)（(a < b)）所做的功。所以我们可以把这个变力(F(x))所做的功表示为(F(x))在([a, b])上的定积分。那么变力(F(x))的做功问题也可以用定积分来进行解决。
我们看一下如图，在弹性限度内将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置(l)米处，求克服弹力所做的功。
我们知道在弹性限度内拉伸或压缩弹簧所需的力(F(x))与弹簧拉伸或压缩的长度(x)成正比，即(F(x) = kx)，其中常数(k)是比例系数。那么我们由变力做功的公式可以得到，功(W)等于(kx)在([0, l])之间的定积分，找出它的原函数(\frac{1}{2}kx^{2})，它在(l)处与(0)处的差值代入计算得到(W = \frac{1}{2}kl^{2})。所以我们可以答，克服弹力所做的功为(\frac{1}{2}kl^{2})焦耳。
那么我们再看看定积分在其他实际问题中的应用。(A)、(B)两站相距(7.2)千米，一辆电车从(A)站开往(B站)，电车开出(t)秒后到达图中的(C)点，这一段的速度为(1.2t)米每秒，到(C)点的速度为(24)米每秒。从(C)点到(B)点前的(D)点以等速行驶，从(D)点开始刹车，(t)秒后速度为(24 - 1.2t)米每秒，在(B)点恰好停车。试求：1. (AC)间的距离；2. (BD)间的距离；3. 电车从(A)站到(B)站所需的时间。
那我们先来解决第一个问题，(AC)间的距离。从刚才的条件我们知道从(A)站开往(B)站经过(t)秒后到达了(C)点，所以(AC)的距离应该是在(0)到(t)这个时刻发生的。而到(C)点时的速度正好是(1.2t)，所以我们可以设从(A)到(C)所用的时间为(T_{1})，则(1.2T_{1} = 24)，解出(T_{1} = 20)秒。那么(AC)间的距离就应该是这个变化的速度(1.2t)，在([0, 20])秒的积分。找出(1.2t)的原函数(0.6t^{2})，它在(20)处与(0)处的差值等于(240)米，所以我们可以求出(AC)间的距离为(240)米。
第二个问题，(BD)间的距离。我们再来从题目中寻找条件，从(C)点到(B)点前的(D)点处以等速行驶，从(D)点开始刹车，经过(t)秒后速度为(24 - 1.2t)，在(B)点恰好停车，说明在点(B)处它的速度为(0)，而这是从(D)点经过(t)秒以后做到的。所以我们假设从(D)到(B)所需的时间为(T_{2})，而这个速度为(24 - 1.2t)，所以到达点(B)处，它的速度为(24 - 1.2T_{2})。由于此时停车，这个值就等于(0)，所以我们得到(24 - 1.2T_{2} = 0)，解得(T_{2} = 20)秒。
再利用我们定积分的方式求出(BD)的长度，速度(24 - 1.2t)，在([0, 20])秒的时间，它的定积分就是(BD)的长度。写出(24 - 1.2t)的原函数(24t - 0.6t^{2})，求出它在(20)处与(0)处的值的差。所以，(BD)间的距离为(240)米。
我们再来看第三问，电车从(A)站到(B)站所需的时间。我们通过刚才的求解知道整个路程是(7.2)千米即(7200)米，减去我们的第一段(AC)的长度(240)米，减去第三段(BD)的长度(240)米，就是我们中间这段路程(CD)的长度，(CD)长度为(7200 - 240 - 240 = 6720)米。那么从(C)到(D)的时间就应该是(6720)米除以它的等速行驶的速度(24)米每秒，求出时间为(280)秒。这样的话，总的从(A)到(B)站的所需时间就为(3)段的时间总和(20 + 280 + 20 = 320)秒。所以，电车从(A)站到(B)站所需时间为(320)秒。这样我们又用定积分去解决了这样一个速度和路程的问题。
我们再来看这样一道例题。物体(A)以速度(v = 3t^{2} + 1)米每秒在一直线上运动，同时物体(B)也以速度(v = 10t)米每秒在同一直线上与(A)同方向运动。问多少时间后，(A)比(B)多运动(5)米，此时(A)、(B)运动的距离各是多少呢？
我们可以将物体(A)从开始到(t)秒所走的路程用定积分来表示，是它的这段速度(3t^{2} + 1)在([0, t])上的定积分，用公式求得，就等于(t^{3} + t)。再求出(B)从开始到(t)秒所走的路程(S_{B})，它就等于(B)物体的速度(10t)在([0, t])秒的定积分，等于(5t^{2})。由于(A)比(B)多运动(5)米，所以(S_{A} = S_{B} + 5)。将刚才计算的结果代入(t^{3} + t = 5t^{2} + 5)，我们可以解得(t = 5)秒。
这时候我们就可以求出此时(A)的路程和(B)的路程。(t^{3} + t)就是(5^{3} + 5 = 130)米，(5t^{2})就是(5×5^{2} = 125)米。所以我们可以答，(5)秒后(A)比(B)多运动了(5)米，此时(A)、(B)走的距离分别是(130)米和(125)米。
刚才我们讲的都是路程的问题，那我们来看一下今天所学的做功的问题。一个物体在力(F(x) = 3x + 4)（(x)的单位为米，(F)的单位为牛顿）的作用下，沿着与力(F)相同的方向从(x = 0)处运动到(x = 4)处，求力(F(x))所做的功为多少。
我们首先明确这个变力(F(x))就是(3x + 4)。接下来，因为物体是从(x = 0)运动到(x = 4)，所以由变力做功的积分可以表示出这段所做的功(W)，就是我们的变力(F(x))在([0, 4])上的定积分。把变力(F(x))代入，找出(3x + 4)的原函数(\frac{3}{2}x^{2} + 4x)，它在(4)处的值与(0)处的值的差，计算可得等于(40)。所以，力(F(x))所做的功为(40)焦耳。
好同学们，接下来我们继续利用定积分处理一些其他物理中的应用问题。我们来看这样的练习。一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度(v(t) = 5 - t + \frac{55}{1 + t})（(t)的单位为秒，速度的单位为米每秒）紧急刹车至停。求：1. 从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；2. 紧急刹车后火车运行的路程。
由于从紧急刹车至火车完全停止时速度为(0)，假设经过的时间为(t)，那么经过(t)的时间速度(v(t))就应该为(0)。所以我们得到(5 - t + \frac{55}{1 + t} = 0)，两边同乘(1 + t)解一个关于(t)的二次方程，求出(t = 10)。当我们知道从开始紧急刹车至火车完全停止需要经过(10)秒的时间，再来求紧急刹车后火车运行的路程就简单了，这就是今天所学的变速运动所经过的路程问题。所以我们直接由变速运动的路程的积分表示，可以得到路程(s)就等于速度(v(t))在([0, 10])秒的定积分。
求出(v(t))的原函数，(5 - t)的原函数是(5t - \frac{1}{2}t^{2})，(\frac{55}{1 + t})的原函数是(55\ln(1 + t))。那么它在(10)处与(0)处的值的差代入，我们可以得到就是(55\ln11)。这样我们就完成了这道题的答案。答，从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间为(10)秒，紧急刹车后火车运行的路程为(55\ln11)米。
我们再来看一个物体下落的问题，在第一秒时刻恰经过电视塔顶，在第二秒时刻物体落地，已知自由落体的运动速度为(v = gt)（(g)为常数），则电视塔高为多少？
这就是一个物体的变速运动，它经过的路程从电视塔顶到物体落地就是塔高。对应的时间是(t)从(1)到(2)，所以我们可以把塔高转化为(gt)在([1, 2])秒的定积分，求出(gt)的原函数(\frac{1}{2}gt^{2})，它在(2)处的值减去在(1)处的值得到(\frac{3}{2}g)。从而答，电视塔高为(\frac{3}{2}g)。
我们再来看看变力做功的问题。做直线运动的质点在任意位置(x)处所受的力(F(x) = 1 + e^{x})，则质点沿着与(F(x))相同的方向从点(x_{1} = 0)处运动到点(x_{2} = 1)处，那么力(F(x))所做的功是多少呢？
我们由变力所做功的积分表示，可以直接求这个变力(F(x))在这个区间([0, 1])上的定积分，也就是(1 + e^{x})在([0, 1])上的定积分。求出(1 + e^{x})的原函数(x + e^{x})，它在(1)处的值减去在(0)处的值，也就是((1 + e) - (0 + 1))，最后求得答案为(e)。所以，力(F(x))所做的功为(e)焦耳。
那么今天我们上的课程主要由这两方面构成，让大家学会了如何用定积分去处理物理中的变速直线运动的路程问题和变力作用下的做功问题。一是物体以速度(v = v(t))做变速直线运动时，在(t = a)到(t = b)（(a < b)）的时间内，经过的路程为(s = \int_{a}^{b} v(t)dt)；二是物体在变力(F(x))的作用下，沿着力(F)的方向由(x = a)运动到(x = b)（(a < b)）时所做的功为(W = \int_{a}^{b} F(x)dx)。
当然我们也可以用定积分去处理其他物理中的相关问题。今天的内容主要讲到这，针对今天的内容，布置如下作业：课本第(60)页习题(1.7A)组(2)、(3)、(4)、(5)；阅读和收集介绍微积分的有关书籍，了解相关的数学史。最后要知道定积分在几何和物理中的应用非常广泛，希望大家从数学史上找到相关内容。今天的课就到这里，谢谢大家。