师：同学们好，上节课我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，也了解了它们之间的区别与联系。今天，我们将探讨这两个原理在实际生活中的应用。首先，对上节课内容做个简要回顾。
一、分类加法计数原理的推广：如果完成一件事有(n)类不同方案，在第一类方案中有(M_1)种不同方法，在第二类方案中有(M_2)种不同方法，……在第(n)类方案中有(m_n)种不同方法，那么完成这件事共有(N = M_1 + M_2 + \cdots + m_n)种不同方法。
二、分步乘法计数原理的推广：如果完成一件事需要(n)个步骤，做第一步有(M_1)种不同方法，做第二步有(M_2)种不同方法，……做第(n)步有(m_n)种不同方法，那么完成这件事共有(N = M_1×M_2×\cdots×m_n)种不同方法。
三、两个原理的区别与联系：它们都用于解决完成一件事的不同方法总数问题。区别在于，分类加法计数原理针对分类问题，每类方案中的每种方法都能独立完成这件事，且各类方法相互独立；而分步乘法计数原理针对分步问题，任何一步都不能独立完成这件事，只有每个步骤都完成才能完成这件事，且各步骤之间相互依存。
下面，我们运用这两个原理来解决生活中的计数问题。看例1，要从甲、乙、丙三幅不同的画中选出两幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，共有多少种不同挂法？
师：此题需要完成什么事？
生：从甲、乙、丙三幅不同的画中选出两幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置。
师：那如何完成这件事呢？大家思考一下。
由于数字较小，有的同学可能想用列举法，有的同学可能想用分类加法计数原理，按左边墙上所挂画的类别分类，有三类；还有同学可能想用分步乘法计数原理，第一步选左边墙所挂的画，第二步确定右边墙所挂的画。下面看三种解法。
方法一：列举法。若左边选甲，右边可选乙或丙，得到挂法左甲右乙、左甲右丙；若左边选乙，右边可选丙或甲，得到挂法左乙右丙、左乙右甲；若左边选丙，右边可选甲或乙，得到挂法左丙右甲、左丙右乙，所以共有(6)种挂法。
方法二：从三幅画中选两幅挂在左右两边墙，有三类方法。第一类，甲画挂左边墙有(2)种方法；第二类，乙画挂左边墙有(2)种方法；第三类，丙画挂左边墙有(2)种方法。根据分类加法计数原理，不同挂法总数(N = 2 + 2 + 2 = 6)。
方法三：从三幅画中选两幅挂在左右两边墙，可分两个步骤。第一步，从三幅画中选一幅挂左边墙，有(3)种选法；第二步，从剩下两幅画中选一幅挂右边墙，有(2)种选法。根据分步乘法计数原理，不同挂法总数(N = 3×2 = 6)。
师：大家再想想，还有其他解法吗？
事实上，还可这样考虑，从三幅画中选两幅挂在左右两边墙，分两个步骤。第一步，从三幅画中选两幅，有(3)种选法；第二步，将选出的两幅画挂好，有(2)种挂法。根据分步乘法计数原理，不同挂法总数(N = 3×2 = 6)。
下面回顾例1的四种解法。解法1和解法4的第一步表明，当涉及对象数目不大时，列举法直观方便。再看解法2和解法3，从结果看(2 + 2 + 2 = 3×2)，在加法运算中，加数相同时，乘法运算是加法运算的简化。从过程看，解法2中每类方法均有(2)种挂法，可简化为分步，即解法3是解法2的简化。由此可知，乘法运算是特定条件下加法运算的简化，分步乘法计数原理是特定条件下分类加法计数原理的简化，这里特定条件指在加法运算中加数相同，在分类加法计数原理中每一类的计数相同。再看解法3和解法4，均用分步乘法计数原理，但第一步和第二步含义不同。
下面看一个变式，要从甲、乙、丙、丁四幅不同的画中选出三幅，分别挂在左、右、前三边墙上的指定位置，共有多少种不同挂法？
师：此题和例1相似，例1的四种方法均适用。我讲一种方法，其余三种作为课后作业。从四幅画中选(3)幅挂在三边墙，可分三个步骤。第一步，从(4)幅画中选一幅挂左边墙，有(4)种选法；第二步，从剩下(3)幅画中选一幅挂右边墙，有(3)种选法；第三步，从剩下(2)幅画中选一幅挂前墙，有(2)种选法。根据分步乘法计数原理，不同挂法总数(N = 4×3×2 = 24)。
下面看例2，给程序模块命名需用三个字符，首字符要求用字母(a)到(g)或(u)到(z)，后两个要求用数字(1)到(9)，最多可给多少个程序命名？
师：此题需完成什么事？
生：给程序模块命名。
师：如何完成这件事呢？从分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析。一方面，给程序模块命名可分三个步骤，第一步选首字符，第二步选中间字符，第三步选末字符；另一方面，有两类方法，第一类首字符用字母(a)到(g)命名，第二类首字符用字母(u)到(z)命名。
解法一：先算首字符选法。(a)到(g)有(7)个字母，(u)到(z)有(6)个字母，根据分类加法计数原理，首字符共有(7 + 6 = 13)种选法。再算不同程序名称，此时首字符(13)种选法，后两个字符用(1)到(9)，中间字符(9)种选法，末字符(9)种选法，根据分步乘法计数原理，最多可有(13×9×9 = 1053)个不同名称，即最多可给(1053)个程序命名。
解法二：先算首字符用字母(a)到(g)命名的不同名称个数。首字符(7)种选法，中间字符(9)种选法，末字符(9)种选法，根据分步乘法计数原理，最多可有(7×9×9 = 567)个不同名称。再算首字符用(u)到(z)命名的不同名称个数。首字符(6)种选法，中间字符(9)种选法，末字符(9)种选法，根据分步乘法计数原理，最多可有(6×9×9 = 486)个不同名称。根据分类加法计数原理，最多可有(567 + 486 = 1053)个不同名称，即最多可给(1053)个程序命名。
师：大家想想还有其他解法吗？
解法三：间接法。先算首字符用字母(a)到(z)命名的不同名称个数。(a)到(z)共(26)个字母，首字符(26)种选法，中间字符(9)种选法，末字符(9)种选法，根据分步乘法计数原理，最多可有(26×9×9 = 2106)个不同名称。再算首字符用字母(h)到(t)命名的不同名称个数。(h)到(t)共(13)个字母，首字符(13)种选法，中间字符(9)种选法，末字符(9)种选法，根据分步乘法计数原理，最多可有(13×9×9 = 1053)个不同名称。所以首字符用(a)到(g)或(u)到(z)命名，最多可有(2106 - 1053 = 1053)个不同名称，即最多可给(1053)个程序命名。