师：各位同学，大家好！今天我们来学习人教A版选修2 - 2第一章第七节定积分的简单应用的第一课时——定积分在几何中的应用。首先，带着问题复习一下之前学过的内容：怎样求曲边梯形的面积？
我们通过四个步骤来求解：
分割：将区间等间隔地插入(n - 1)个点，把区间等分成(n)个小区间。
近似代替：以直代曲，用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积。
求和：把所有小矩形面积加起来，得到曲边梯形面积的近似值(S_N)。
取极限：当(n)趋近于正无穷时，(S_N)的极限值就是曲边梯形的面积。
从这个过程可以发现，通过这四个步骤能得到一个特定形式的和的极限，而这个极限值可以定义为一个函数在该区间上的定积分。
那定积分的几何意义是什么呢？如果函数(f(x))在([a,b])区间上连续，并且(f(x) \geq 0)，那么(f(x))在([a,b])上的定积分就是由(y = f(x))的图像、(x = a)、(x = b)与(x)轴所围成的曲边梯形的面积。
除了用定积分的定义求解定积分，我们还可以将定积分转化为求原函数的问题来计算。由微积分基本定理，如果(f(x))是区间([a,b])上的连续函数，并且(F(x))的导数等于(f(x))，那么(f(x))在([a,b])上的定积分就等于原函数(F(x))在(b)处的值与在(a)处的值的差。
通过前面的学习，我们知道定积分有哪些应用呢？可以把定积分应用在求曲边梯形的面积上，比如国家大剧院边缘的菠萝形状，就是曲边梯形问题，可以通过积分求解其面积。当然，也可以用定积分解决物理中的一些问题。
现在来看如何计算抛物线(y = x^2)与(x = 0)、(x = 1)以及(x)轴所围成的曲边梯形的面积(S_1)。大家先动手画出它的图像，找出所围图形，再来解决面积问题。
生：（学生动手画图）
师：通过画出图像，根据定积分的几何意义，这个所围图形的面积可以表示成(y = x^2)在([0,1])上的定积分。再通过牛顿 - 莱布尼兹公式，将其转化为(x^2)的原函数(\frac{1}{3}x^3)在(1)处的值与(0)处值的差，结果为(\frac{1}{3})。同学们，你们做对了吗？
接下来看第二问，将函数(y = x^2)变成(y^2 = x)，这是一条开口向右的抛物线，它与(x = 0)、(x = 1)以及(x)轴所围成的图形面积是多少呢？大家先自己作图，观察图形，再来解决面积问题。
生：（学生动手画图）
师：大家做出开口向右的抛物线了吗？将它与(x)轴、(x = 1)围成的区域用阴影表示出来，这个阴影部分的面积该如何求解呢？根据定积分的几何意义，这块面积可以表示成(y^2 = x)上半段的函数在([0,1])上的定积分。此时(y^2 = x)不是函数解析式，它的上半段是(y = \sqrt{x})，下半段是(y = -\sqrt{x})，所以面积应该由(\sqrt{x})在([0,1])上的定积分来求得。通过公式找出(\sqrt{x})的原函数(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}})，原函数在(1)处的值减去在(0)处的值就等于(\frac{2}{3})，这就是我们今天求出的面积(S_2)。
好，这是我们刚才求得的(S_1)和(S_2)。带着这样的问题，来看一个新问题：由这两条抛物线所围成的面积(s)。这时候要将两条抛物线画在同一个直角坐标系中，寻找它们所围成的区域，也就是构成的图形。大家试一试。
生：（学生动手画图）
师：同学们，你们做出这样的图形了吗？通过观察所围成的图形，如何计算它的面积呢？目前没办法直接求出这个图形的面积，可不可以利用刚才所求过的两块面积来构造呢？这时候可以做出一定的辅助线。
我们发现可以把所围成的区域面积看成是由(OABC)这个曲边梯形的面积减去(OABD)这个曲边梯形的面积，而这两块面积刚好就是我们求过的(S_1)和(S_2)。所以这道题的(s)可以由两个曲边梯形面积的差来得到，即(y = \sqrt{x})在([0,1])上的定积分减去(y = x^2)在([0,1])上的积分。这样就能求得所围成的图形面积，结果就是(S_2 - S_1 = \frac{1}{3})。
我们刚才说(s)可以由两个定积分做差得到，利用定积分的性质，这个结果又可以换成((\sqrt{x} - x^2))这个整体在([0,1])上的定积分。直接利用公式找出(\sqrt{x} - x^2)的原函数，在(1)处和(0)处的差值得出面积为(\frac{1}{3})。这可以理解为：用上方边缘的函数(\sqrt{x})减去下方边缘的函数(x^2)，在对应区间([0,1])上的定积分来求得面积。
现在，根据刚才这个题目，考虑一下如何求解两曲线围成的平面图形面积的一般步骤是什么呢？
第一步，做出图像。做出曲线后就能找到所围成的平面图形。
第二步，确定积分的上下限。通过求出交点坐标来获得。
第三步，确定被积函数。
第四步，列式通过公式进行求解，这样就能求出平面图形的面积。
用这样的步骤来完成下面这道例题：计算由直线(y = x - 4)，曲线(y = \sqrt{2x})以及(x)轴所围成的图形的面积。按照步骤，第一步先做出图像。大家在同一个直角坐标系中作出(y = x - 4)和(y = \sqrt{2x})的图像，看看和之前有什么不同吗？
生：（学生动手画图）
师：我们发现这道题围成区域的面积与之前不同，不能直接由一个曲边梯形的面积减去另一个曲边梯形的面积来得到。我们将它进行分割，由(S_1)和(S_2)的和来构造。(S_1)的面积是由上方边缘的函数(\sqrt{2x})与(x)轴以及(A)处的垂线所围成的区域，那么它的面积就应该是函数(\sqrt{2x})在(0)到(A)点横坐标处的定积分。而(S_2)的面积，可以转化成(\sqrt{2x})在(A)处到(C)处横坐标处的定积分，再减去这个三角形的面积。大家能完成它的解答吗？
要写出定积分的上下区间，所以做出图像后联立方程组求出交点的坐标。将(y = \sqrt{2x})与(y = x - 4)联立方程组，能够求出交点(B)处的坐标为((8,4))。再将(y = x - 4)与(x)轴的交点求出为(A(4,0))。这样，(S_1)的面积可以表示成(\sqrt{2x})在([0,4])的定积分，(S_2)可以表示成(\sqrt{2x})在([4,8])上的定积分减去((x - 4))在([4,8])处的定积分。再通过寻找原函数进行计算。