师：同学们大家好，欢迎走进今天的数学课堂。今天我们要学习的内容是人教A版数学选修4 - 5《不等式选讲》的第二讲：证明不等式的基本方法。首先，我们来看这样一个问题：已知(a)为实数，如何证明(a^2 + 1 > a)？同学们，在(a)为实数的情况下，我们知道(a^2 + 1 \geq 1)。但是，由于(a)的具体值不清楚，所以很难直接看出(a^2 + 1 > a)成立的原因。
那我们怎么来说明这个不等式成立呢？对了，我想同学们可能会想到采用这样一种方式：因为(a^2 + 1 - a)，把这个式子左边和右边相减。得到这个式子以后，我们将式子中间的(a^2 - a)分离出常数(\frac{1}{4})，利用完全平方公式可以写为((a - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4})。这样的话，注意到((a - \frac{1}{2})^2 \geq 0)，显然这个结果恒大于(0)。那这样我们便说明了(a^2 + 1 > a)的成立性。也就是说，为了解决(a > b)的问题，我们可以考虑证明(a - b > 0)。那这里它所用到的数学原理是什么呢？对了，就是关于实数大小关系的基本事实。也就是说，如果(a - b > 0)，我们可以推出(a > b)。当然反过来，如果(a > b)，我们也可以得到(a - b > 0)，所以这两个不等式是等价的。同样的道理，我们还可以得到(a - b = 0)等价于(a = b)，(a - b < 0)等价于(a < b)。这样一个关于实数大小关系的基本事实，也是我们进行大小比较一个重要的理论依据。好，那今天我们所要探讨的课题就是如何证明不等式，而我们今天所要采用的方法就是比较法。
首先我们来看这样一个例题，已知(a)、(b)都是正数，且(a \neq b)。求证：(a^3 + b^3 > a^2b + ab^2)。那怎么去证明这个不等式呢？显然我们还是可以通过比较法来进行处理。怎么来比较两者的大小关系呢？显然，为了说明左边大于右边，我们只需要将左边和右边的式子相减，只要能证明这个差大于(0)就可以了。
那么在证明的过程中，我们可以通过对已知的结果进行适当的恒等变形，转化为一个能够明确定正负的代数式。所以我们可以按照这样的过程来证明它。首先我们将式子的左边与右边做差，为了说明它的正负，我们还需要将式子进行变形。我们可以对这里的项进行重新组合，比如说我们将(a^3)与(a^2b)放在一块，而将剩余的项通过提取负号变成(ab^2 - b^3)，那式子就变成了后面这个形式。当然，在这个时候我们依然还不能确定它的符号，所以还要继续变形。我们可以将第一个括号里面提取公因式(a^2)，把第二个括号提取公因式(b^2)，那么这个式子就可以改写为(a^2(a - b) - b^2(a - b))。好，这时同学们应该可以发现两个式子中还是具有公因式，我们继续提取(a - b)这个公因式，那就可以把它写成((a^2 - b^2)(a - b))。好，在已知的条件下，这个结果能够说明符号了吗？好像我们还不确定(a)和(b)的大小，那怎么办呢？是的，其实这里的式子还可以再进行进一步的变形。我们知道(a^2 - b^2)可以写成((a + b)(a - b))。那这样它会分离出和后面(a - b)一样的式子。也就是说我们还可以把它再变形成((a + b)(a - b)^2)。好了，那到了这个地方，同学们想是不是符号就能够说明了呢？显然，因为(a)、(b)都是正数，且(a \neq b)，所以(a + b > 0)，由于(a - b)的平方在(a \neq b)时也是恒大于(0)的。那这样我们就能够得到这个差式的结果是大于(0)。从而就证明了(a^3 + b^3 - (a^2b + ab^2) > 0)，这样也就证明了(a^3 + b^3 > a^2b + ab^2)这个不等式。
其实在这个不等式的证明过程中，很显然我们是将左边大于右边这个不等式的证明转化为左边减去右边得到的这个代数式的符号问题。为了判定它的符号，中间的这一部分过程起了非常重要的一个铺垫，我们用到了运算中的因式分解，将做差的结果尽可能地转化为因式和因式的乘积等这种容易判断符号的形式，这也为我们最后结论的生成打下了很好的基础。好了，那通过这个问题，我们将这种证明的方法进行一个简单的归纳小结。由于我们在证明中是利用左边和右边做差来进行处理的，所以我们可以把它称之为做差比较法，它是比较法中的一种形式。它的一般步骤我们概括一下：首先我们应该进行做差，也就是说把不等式两边都当成一个整体，对两者进行作差。做差以后，接下来就是对做差的结果进行变形。那么变形的目的是什么呢？其实就是为了判断做差结果的符号，所以充分的变形是我们判断符号的一个前提。那么如果判断出符号以后，就可以根据所得到的符号来给出这个不等式比较的结果，也就是证明了这个结论。当然可以想见，在整个步骤中间，关键的依然是变形这个过程。而变形的技巧主要在于将差式进行重新的组合、合理的搭配。比如在我们刚刚的处理过程中，遇到的这种多项式的整式，我们采用的是因式分解、配方等形式，目的都是为了有利于判断差式的符号。同学们，你明白了吗？
好，那接下来老师给大家一个变式的练习，我们来看一下：已知(-1 \leq a \leq 1)，(-1 \leq b \leq 1)，求证(\vert a + b \vert \leq \vert 1 + ab \vert)。这个不等式怎么证明呢？显然，由于不等式中间的代数式有绝对值符号的存在，我们如果要想直接做差，那就需要对绝对值的符号进行分析，也就是说可能我们要对这里进行去绝对值。这样的过程怎么办呢？大家联想一下，在我们前面所学习的不等式的性质中，有一个乘方法则，还有一个开方法则。而我们这里不等式的左右两边显然都是非负数。那这样的话，根据不等式的性质，(\vert a + b \vert \leq \vert 1 + ab \vert)等价于(\vert a + b \vert^2 \leq \vert 1 + ab \vert^2)，绝对值平方以后也是去掉绝对值的一个办法。那这样我们是不是就可以考虑在平方以后再利用作差比较法证明这个不等式呢？那怎么来表达这个证明的过程呢？
首先我们来看证明。因为我们后面要用到不等式的性质，所以在这里我们先将已知的两个式子先进行平方作差。根据绝对值的运算性质，我们可以得到它就是((a + b)^2 - (1 + ab)^2)。我们将两个平方展开，可以得到(a^2 + 2ab + b^2 - (1 + 2ab + a^2b^2))。当然我们还要将式子再做变形，不难得到，它等于(a^2 + b^2 - 1 - a^2b^2)。
好了，同前面一样，在无法确定符号的情况下，我们继续变形，将这里的式子进行重新组合。比如说我们将(a^2 - 1)放在一块，把剩下的两项提取公因式(b^2)，那就会出现(1 - a^2)这个因式。那这个时候显然式子的符号还是不能确定，在(a)的已知范围内，(a^2 - 1 \leq 0)，但(1 - a^2 \geq 0)，整体依然体现为是一个负数加上一个正数，那这个时候符号依然不确定，那我们还要继续变形。到了这里怎么办呢？你看，事实上式子中间的(a^2 - 1)和(1 - a^2)，它们整体上相差了一个负号，所以其实它们也可以看成是公因式，我们可以将(a^2 - 1)提取出来，那就会变成((a^2 - 1)(1 - b^2))。
当然为了符号说明的便捷，我们还可以将它进行进一步的分解，写成((a + 1)(a - 1)(1 + b)(1 - b))，也就是这四个因式的积。那在这样的情况下，利用已知的(a)、(b)范围，(1 + a \geq 0)，(a - 1 \leq 0)，(1 + b \geq 0)，(1 - b \geq 0)，也就是说这(4)个因式中有(3)个因式大于等于(0)，有一个小于等于(0)，所以它们乘积的结果是小于等于(0)。
好了，这样我们也就证明了(\vert a + b \vert^2 \leq \vert 1 + ab \vert^2)。那此时我们再结合不等式性质中的开方法则，便证明了(\vert a + b \vert \leq \vert 1 + ab \vert)了。
好的，那接下来我们继续来看这样一个问题，请判断命题“若(\frac{a}{b} > 1)，则(a > b)”是否正确？当然你会发现这个命题显然它是错误的。比如说我们取(a = -2)，(b = -1)，那条件成立，结论却不成立。那我们将它改一下，如果把命题改为“当(b > 0)时，若(\frac{a}{b} > 1)，则(a > b)”，那这个时候它正不正确呢？是的，(b > 0)的时候，我们在(\frac{a}{b} > 1)的两边同时乘以正数(b)，那么就可以推出(a > b)成立。那反过来，显然若(b > 0)时，若(a > b)，我们也是可以得出(\frac{a}{b} > 1)的。
好的，那这样我们就可以得到这样一个事实，也就是说当(b > 0)时，(\frac{a}{b} > 1)等价于(a > b)。同样的道理，我们还可以得到(\frac{a}{b} = 1)等价于(a = b)，以及(\frac{a}{b} < 1)等价于(a < b)。当然，这三个关系成立的前提是(b > 0)。我们可以看到所有式子的右边其实就是我们前面的大小比较，而左边事实上是一个商式和(1)的大小关系。这也就提醒我们在比较大小的时候还可以考虑将式子进行做商，去探究商式与(1)的关系来解决这个大小的判断。比如说我们来看这样一个例题。
大家请看，已知(a)、(b)都是正数，求证(a^a \cdot b^b \geq a^b \cdot b^a)，当且仅当(a = b)时，等号成立。那这个不等式从结构上来看，它是指数式，不管是左边还是右边都是指数式的乘积。在已知的条件下，它显然都是大于(0)的。而我们知道指数式如果进行加减运算，那是很不方便的。因此在这样一个式子处理的过程中间，通过分析我们可以发现，由于不等式的两边都是正数，且都是指数的形式，我们可以考虑把它们相除，并且考察这个商是与(1)的大小关系，这样会较为方便一点。那真是这样吗？我们来看。
证明：将不等式的两边相除，可以得到(\frac{a^a \cdot b^b}{a^b \cdot b^a} = a^{a - b} \cdot b^{b - a})。注意到(b^{b - a})，我们还可以将其理解为是((\frac{1}{b})^{a - b})次方。所以这个式子我们还可以变形为((\frac{a}{b})^{a - b})。
那么这个式子与(1)的大小关系我们能不能说明呢？显然在题目的条件下，(a)、(b)都是正数，那(\frac{a}{b})只能看出它也是正数，而(a - b)甚至连正负都不知道。一个指数式与(1)的大小关系，不仅取决于它的底数与(1)的关系，也取决于它的指数和(0)的关系。
那这个时候我们怎么办呢？大家请看这个不等式，我们发现交换不等式中(a)和(b)的位置的话，不等式是不变的。像这样的不等式我们习惯上把它称为轮换对称不等式。也就是说这里边不管是(a)比(b)大，还是(a)比(b)小，对于不等式它的成立应该是都不影响。所以结合不等式的这个特点，我们不妨设(a \geq b > 0)。那这样我们就可以推出(\frac{a}{b} \geq 1)以及(a - b \geq 0)这样的结果。
好，再利用指数运算的这样一个特征，我们就可以发现((\frac{a}{b})^{a - b} \geq 1)，也就找到了它与(1)大小关系成立的一个依据。所以，而且在过程中我们可以发现，当且仅当(a)、(b)相等的时候，等号是成立的。好了，那也就推证了(a^a \cdot b^b \geq a^b \cdot b^a)，当且仅当(a = b)时，等号成立。那么在这个问题的证明过程中，我们是将两个实数代数式的大小关系转化为它们的商与(1)的大小关系的判断上来。这种不等式证明的方法，我们把它叫做作商比较法，我们来总结一下它的过程。首先我们将不等式两边做商，然后对做商的结果进行变形，再对变形的结果与(1)的大小进行判定。当然在达到这个步骤之前，我们必须要经过充分的变形，以利于我们判断商式与(1)的关系。当然最后再根据这个大小关系来确定我们证明的结论。
好，当然在这里要提醒大家的是，由于做商法牵涉到不等式中的性质，所以一定要注意(b > 0)是前提条件。那常常我们在一些含有指数式的一些不等式，或者是对数式的不等式中间，这种处理的办法可能用得会多一些。那我们在这里再给大家举一个例子。若(a > 2)，请证明(\log_a (a - 1) < \log_{a + 1} a)。那么我们观察这个带证的不等式，可以发现在(a > 2)的条件下，不等式的两边显然都是大于(0)的数。而且由于式子是对数式，如果直接进行做差，在后期变形的过程中将会显得比较困难。
那做商行不行呢？好，我们来试试。根据题目的条件，我们可以得到这两个对数都大于(0)。然后我们用式子的左边与右边做商。那么在做商的时候，由于分母中间这个对数，它的底数是(a + 1)，而真数位置是(a)，而上面的分子的对数底数是(a)，真数是(a - 1)。那么在处理的过程中，我们可以考虑把分母的对数利用换底公式转化为以(a)为底(a + 1)的对数的倒数。那这样这个对数式便可以改写为(\log_a (a - 1) \cdot \log_a (a + 1))，从而将整个式子变成以(a)为底(a - 1)的对数和以(a)为底(a + 1)对数的乘积。
那当然这个式子与(1)的大小关系能否说明呢？怎么办呢？这是两个正数的相乘，在我们所学过的不等式的知识中间，基本不等式可以进行和积的转化。那么根据基本不等式，我们事实上是可以得到这个式子小于((\frac{\log_a (a - 1) + \log_a (a + 1)}{2})^2)。那么转化为和以后由于底数两个对数的底数是相等的，那么它们也就可以进行运算。好，根据加法的运算规律，我们就可以把这个运算结果改写为((\frac{\log_a (a^2 - 1)}{2})^2)。
同学们，我们知道，因为(a^2 - 1 < a^2)，而(\log_a)这样一个对数型函数又是单增函数，而且在已知的范围内这两个对数都大于(0)。所以这个式子我们可以说明它小于((\frac{\log_a a^2}{2})^2)，这样也就说明了它是小于(1)的结论。
好，那大家可以看到在这个过程中，为了说明商式与(1)的关系，我们借助于所学习过的基本不等式做了一些变形，事实上有一点放缩的特征在里边。但不管怎样，我们的目的都是为了说明它与(1)的关系。好了，那这样我们就能证明不等式的左边小于右边的结论。
好，那通过以上的内容的学习，我们将今天这节课进行一个简单的小结。今天我们其实主要研究的是如何用比较法来证明不等式。根据带证不等式的结构特征不同，我们有作差比较和作商比较两种形式。作差比较的特征是将作差结果与(0)进行大小的比较，而做商是为了使得做商的结果与(1)进行比较。在不同的比较方法中都有需要注意的地方。最后这是我们今天留给大家的作业。好，谢谢同学们，再见。