师：亲爱的同学你好，今天这节课老师将带着大家对统计案例这一章的内容进行复习和小结。在统计中，我们研究的变量有两类。一类是定量变量，比如身高、体重等。研究两个定量变量之间是否具有相关关系，就是本章第一节回归分析所研究的主要问题。另一类是分类变量，比如人的性别、是否患病等。研究分类变量之间是否有关的问题，则是本章第二节独立性检验所研究的主要内容，它们构成了统计案例这一章的主体。
同学们，学习了统计和统计案例后，老师想问，若以后在生活中遇到随机现象，你们会怎样探索其规律性呢？首先当然是收集数据，在必修3的统计中，已给大家介绍了一些方法。无论用何种收集方法，都要让收集来的数据在后续研究中更具代表性。
其次是对收集来的数据进行整理和分析，本章统计案例所学的两种方法就是数据分析的方法。大家想一想，我们是怎样进行数据分析的呢？在回归分析中，我们会把收集来的数据画出对应的散点图，通过散点图直观观察两个变量之间是否具有相关性，是否具有线性相关性。如果两个变量是线性相关的，那么我们就可以建立线性相关模型；如果两个变量是非线性相关的，就可以通过已掌握的函数知识建立非线性相关模型。
那么在独立性检验中又是怎样分析数据的呢？在独立性检验中，也有直观的方法，即使用等高条形图或者2×2列联表进行直观研究。但这样的直观印象能否代表总体呢？因此，我们还需要更精确的研究，也就是独立性检验。
这些就是统计案例中分析数据的方法。整理分析数据后，我们希望得到什么呢？希望得到有效结论，并将其应用到实际中，这就是统计中分析问题的一般方法。好了，回顾完统计中处理数据的一般方法，接下来我们通过实际例子体验处理数据的过程。
例一，菜农定期用低害杀虫农药喷洒蔬菜以防虫害，蔬菜上市时仍有少量残留农药，食用时需用清水清洗。用清水x千克清洗1千克该蔬菜后，蔬菜上残留的农药y微克的统计数据如下。在这个例题中，老师希望同学们思考，用水量x与农药残流量y这两个变量之间是否有关？该如何分析这组数据呢？
通过前面的复习，相信同学们已想到方法，即根据题中收集的数据，先画出散点图直观观察两个变量是否相关。我们以清水用量x为横轴，农药残流量y为纵轴，建立平面直角坐标系，作出散点图。首先，根据散点图直观观察，这些数据点能否反映出两个变量具有相关性呢？很显然，它们具有相关性，且是负相关，即随着x的增大，y的值逐渐减小。那么用什么样的方程来拟合这组数据呢？
可能不同同学有不同见解。有的同学认为这组数据分布在一条直线附近，可以用直线方程拟合；还有同学可能觉得数据点分布在一条曲线附近，比如熟悉的二次函数对应的曲线。这两种说法哪种正确呢？其实都有道理，实践是检验真理的唯一标准，下面我们来看看这两种情况。
首先，如果认为这组数据可用直线拟合，那就建立一次函数模型。设一次函数方程为y = Bx + a，其中a、b是待定参数。那么如何求出a和b的估计值呢？同学们，我们在必修3的统计中学习过求解线性回归方程的方法，利用最小二乘法得到了一些公式，下面一起回忆一下。
对于一组具有线性相关关系的数据(x?,y?)，(x?,y?)，…，(x?,y?)，回归方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式是……利用这个公式，就可以求解刚才一次函数方程对应的系数估计值。根据公式可得，b的估计值是 -12.1，a的估计值是74.3，这样就得到回归方程y = -12.1x + 74.3。
刚才还有同学认为这组数据可用二次函数对应的曲线拟合，那又该如何处理呢？首先建立二次函数模型，根据数据点分布情况，发现它应该是开口向下的二次函数。所以设二次函数方程为y = cx2 + d，其中c、d是待定参数。
同样，怎么求出c和d的估计值呢？我们现在只有5组样本点，仅学过最小二乘法推导的线性回归方程求解方法，此时该怎么办呢？数学中有一个重要思想叫转化与化归思想，既然会求线性回归方程，而这道题设的方程是非线性的，那就想办法把非线性关系转化为线性关系，该怎么转化呢？对，只要令t = x2，就可将变换后的样本点分布直线写成y = ct + d的形式，实现非线性关系到熟悉的线性关系的转化。
那么接下来能用题目所给数据求解吗？当然不行，因为现在研究的是y与t之间的关系，所以要进行转化。t就是刚才设的x2，这样就能得到y关于t的线性回归方程y = -2.0t + 60.0。但我们研究的是y与x的关系，所以还要把t换回来，y与x的回归方程就是y = -2.0x2 + 60.0。好了，按照两种思路得到了两个不同的回归方程。老师的第二个问题来了，这两个回归方程，哪个拟合效果更好呢？用什么办法检验拟合效果的好坏呢？
下面我们一起复习拟合效果的检验方法。在这节统计案例中，学习了检验拟合效果的两种办法。一种是残差，同学们还记得残差有什么作用吗？它有两个主要作用，一是根据残差或残差图发现原始数据中的可疑数据；二是判断所建立模型的拟合效果。那么残差是怎样计算的呢？对，残差就是用样本数据中对应的y?的值减去对y?的估计值。第二个检验拟合效果的量是什么呢？就是相关指数R2。请同学们看R2的求解公式，在这里R2 = 1 - 一个分式，分子是(y? - ??)2求和，(y? - ??)就是刚才说的残差，所以分子部分称为残差平方和。分母在样本数据确定后是一个确定的数，且比残差平方和大。因此可以发现，R2的取值一定介于0到1之间，并且当残差平方和越小，拟合效果越好，R2越接近于1；反之，当残差平方和越大，拟合效果越差，R2越接近于0。