师：同学们好，今天我们学习复数代数形式的四则运算。首先，复习一下复数的相关概念。我们引入虚数单位i，将实数系扩充到复数系，其中i2 = -1 。复数的代数形式为z = a + bi，a、b ∈ R ，a称为实部，b称为虚部。那么，复数的几何意义是什么呢？对于复数z = a + bi，我们以实部a作为横坐标，虚部b作为纵坐标。这样，复数z = a + bi与点Z(a, b)一一对应，而点Z与平面向量$\overrightarrow{OZ}$之间也一一对应，其中O是坐标原点。因此，复数z = a + bi与复平面内的点Z一一对应，与平面向量$\overrightarrow{OZ}$一一对应。
复数z = a + bi的模，等于$\sqrt{a2 + b2}$。我们把实数系扩充到了复数系，那么复数之间的运算是怎样的呢？这节课，我们主要学习复数的加减运算。首先，同学们请看复数的加法法则。我们规定，假设$Z_1$ = a + bi，$Z_2$ = c + di，是任意两个复数。那么(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i。对于复数的加法法则，同学们思考以下几个问题。
第一个问题，两个复数的和是什么数？它的值唯一确定吗？根据复数的加法法则，两个复数相加，a + c是确定的，b + d也是确定的，因此两个复数的和是一个确定的复数。
第二个问题，当b = 0，d = 0时，复数的加法与实数加法一致吗？同学们会发现，当b = 0，d = 0时，这两个复数相加就是a + c，与实数加法一致。
第三个问题，复数的加法，它的实质是什么？类似于哪一种运算？根据复数的加法法则，实际上是把两个复数的实部相加、虚部相加，类似于多项式加法的合并同类项。
我们知道实数的加法有交换律、结合律，那么复数的加法满足这些运算律吗？下面我们来探究一下。假设复数$Z_1$ = $a_1$ + $b_1$i，$Z_2$ = $a_2$ + $b_2$i，$Z_3$ = $a_3$ + $b_3$i。根据复数的加法法则，$Z_1$ + $Z_2$ = ($a_1$ + $a_2$) + ($b_1$ + $b_2$)i，$Z_2$ + $Z_1$ = ($a_2$ + $a_1$) + ($b_2$ + $b_1$)i。我们知道实数的加法满足交换律，也就是$a_1$ + $a_2$ = $a_2$ + $a_1$，$b_1$ + $b_2$ = $b_2$ + $b_1$，因此可以得到复数的加法是满足交换律的，也就是$Z_1$ + $Z_2$ = $Z_2$ + $Z_1$。同理可证复数的加法也是满足结合律的，也就是($Z_1$ + $Z_2$) + $Z_3$ = $Z_1$ + ($Z_2$ + $Z_3$)。
同学们都知道，复数与复平面内的向量有一一对应关系。你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？现在有两个复数，$Z_1$ = a + bi，$Z_2$ = c + di ，$Z_1$对应向量$\overrightarrow{OZ_1}$，坐标是(a, b)，$Z_2$对应向量$\overrightarrow{OZ_2}$，坐标是(c, d)。我们知道向量的加法满足平行四边形法则，也就是$\overrightarrow{OZ_1}$ + $\overrightarrow{OZ_2}$，是以$\overrightarrow{OZ_1}$、$\overrightarrow{OZ_2}$为邻边做一个平行四边形OZ?ZZ?，$\overrightarrow{OZ}$就是$\overrightarrow{OZ_1}$与$\overrightarrow{OZ_2}$这两个向量的和向量。另外，我们根据向量的坐标运算，可以求得$\overrightarrow{OZ_1}$ + $\overrightarrow{OZ_2}$的坐标是(a + c, b + d)。显然它与复数$Z_1$ + $Z_2$是对应的，所以我们说两个向量$\overrightarrow{OZ_1}$与$\overrightarrow{OZ_2}$的和$\overrightarrow{OZ}$就是与复数$Z_1$ + $Z_2$对应的向量。由此看来，复数的加法是符合向量加法的平行四边形法则。
好，以上我们探究了复数加法的法则、运算律和几何意义。那么复数的减法是怎样定义的呢？复数的减法法则，我们规定复数的减法是加法的逆运算，也就是把满足(c + di) + (x + yi) = a + bi的复数x + yi叫做复数a + bi减去复数c + di的差，记作(a + bi) - (c + di)。
那么同学们考虑一下如何来求解这里面的x和y的值呢？在这里我们可以根据复数相等的定义，对于这个等式，它的左边实部是c + x，右边的实部是a，所以就有c + x = a；左边的虚部是d + y，右边的虚部是b，所以d + y = b。由此我们可以解出x = a - c，y = b - d，从而复数(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i。由此看来，两个复数相减就是实部相减，虚部相减，差是一个确定的复数，这就是复数的减法法则。下面我们类比复数加法的几何意义，请指出复数减法的几何意义。
给出两个复数，$Z_1$ = a + bi，$Z_2$ = c + di。$Z_1$对应向量$\overrightarrow{OZ_1}$，坐标(a, b)，复数$Z_2$对应向量$\overrightarrow{OZ_2}$，坐标(c, d)。同学们都知道，复数的减法满足三角形法则，也就是$\overrightarrow{OZ_1}$ - $\overrightarrow{OZ_2}$ = $\overrightarrow{Z_2Z_1}$。我们再根据向量的坐标运算，可以得到$\overrightarrow{OZ_1}$ - $\overrightarrow{OZ_2}$的坐标是(a - c, b - d)，它对应复数$Z_1$ - $Z_2$，也就是实部a - c，虚部b - d。所以两个向量$\overrightarrow{OZ_1}$与$\overrightarrow{OZ_2}$的差$\overrightarrow{Z_2Z_1}$就是与复数$Z_1$ - $Z_2$对应的向量。由此我们可以得到复数的减法是符合向量减法的三角形法则。
好，以上我们学习了复数加法和减法运算，下面我们来看几个例题。
例一，计算：
第一个，(-2 + 3i) + (5 - i)；
第二个，(2 - 3i) - (5 + i)；