师：同学们，我们一起来复习上节课所学内容。上节课我们学习了归纳推理，其定义为：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理；或者由个别事实概括出一般结论的推理，简称归纳。归纳推理的特征是从部分到整体、从个别到一般的推理。其作用是发现新事实，获得新结论。这里要注意，归纳推理得到的结论不一定正确，需要通过严格的逻辑证明。
下面来看一个情境，春秋时代鲁国的公输班，也就是我们熟悉的鲁班。有一次他去林中砍树，被一株齿形的茅草割破了手，由此他发明了锯子。他的思路是：茅草是齿形的，能割破手，而他需要一种能割断木头的工具，所以这种工具也可以是齿形的。
鲁班将这两类事物进行对比发明了锯子。同学们，这个推理是上节课学的归纳推理吗？我们一起分析。归纳推理是从部分到整体、个别到一般，而这里明显是从个别到个别，有两类对象，这是不同点，所以这个推理不是归纳推理。在仿生学中，许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的。比如苍蝇的眼睛是复眼，由3000多只小眼组成，人们模仿它制成了蝇眼透镜，一次能照出千百张相同的照片。又如奥地利医生奥布鲁格观察到父亲经常用手指敲击盛酒的木桶，根据桶内声音推测桶内酒的多少，联想到胸腔和酒桶有类似之处，从而发明了叩诊法，即通过叩击人体胸腔判断其中有无积水及积水多少。
近些年来，许多科学家致力于火星探测，因为人们发现火星与地球有很多类似地方。我们来看这个表格，火星和地球都是行星，围绕太阳运行，绕轴自转。火星和地球的自转周期仅相差40分钟左右，都有大气层，一年中有四季变更，火星上也有明显的五带划分，如热带、温带，且火星大部分时间的温度适合地球上某些已知生物生存。由于地球有生命存在，于是人们猜测火星上也可能有生命存在。地球和火星的类比思维过程是：地球与火星存在某些类似特征，地球上有生命存在，因此猜测火星上也可能有生命存在。
同学们，根据以上示例，能说出这些问题中用到的推理方法的共同点吗？不难发现，以上示例都有两类对象，且这两类对象有一些相同或类似的特征。当知道其中一类对象有某些已知特征时，就猜测另一类对象也具有这些特征。这就是我们今天要学习的类比推理。
我们来看类比推理的定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简称类比。同学们可以在课本上把这段话画下来。不难看出，类比推理是一种从特殊到特殊的推理过程。其一般模式是：有两类对象a和b，a类事物具有性质a、b、c、d等，b类事物具有性质a’、b’、c’，这里的a、b、c和a’、b’、c’相同或类似，称为类同点。由于a事物还具有性质d，所以猜测b类事物可能具有性质d’。在类比推理过程中，关键是找到两类事物的类同点。同学们思考一下，能举出学习中有类同点的两类对象的例子吗？
其实在数学学习中就有这样的例子，比如实数的加法和乘法、圆和球、实数与平面向量与空间向量、交并补集和上学期学的或且非之间的关系等等。接下来我们从代数和几何两个角度看看这些有类似特征的两类对象，它们的类同点在哪里。
一、代数中的类比：实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质。实数的加法和乘法都是两个实数之间进行的运算，都有运算律，都有逆运算，且0和1这两个数在加法和乘法运算中都有极其重要的地位。所以我们从以下几个方面类比，请看表格。
首先从运算结果看，实数的加法，若a、b∈R，则a + b∈R，即两个实数的和还是实数，这叫实数加法的封闭性。实数的乘法，若a、b∈R，则a×b∈R，即两个实数的乘积还是实数。
第二个运算律，实数的加法满足交换律和结合律，a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)；实数的乘法也满足交换律和结合律，a×b = b×a，(a×b)×c = a×(b×c)。
第三个逆运算，加法的逆运算是减法，它使方程a + x = 0有唯一解x = -a，-a称为a的相反数。乘法的逆运算是除法，使方程ax = 1（a≠0）有唯一解x = 1/a，1/a称为a的倒数。
最后一个单位元，实数加法中，a + 0 = a；实数乘法中，a×1 = a。注意0和1分别在加法和乘法中的作用。有了实数加法和乘法这些性质的类比，若能发现实数加法的其他特征，就可猜想实数乘法是否也有类似特征，这就是类比两类对象的意义。
接下来看第二个几何中的类比，将平面上的圆与空间中的球进行类比。从定义上看，它们就很相似，圆的定义是平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合，球的定义是空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合，区别在于一个是平面，一个是空间。为方便后面类比，先把圆中的一些概念类比到球中。圆里常提到弦、直径、周长、面积等概念，弦类比到球里是截面圆，直径类比到球里是大圆，因为直径过圆心，大圆过球心；周长类比到球里是表面积，面积类比到球里是体积。有了这些准备，来看圆和球的类比，看这个表格。
首先圆的周长类比球的表面积，圆的周长计算公式C = 2πr，球的表面积S = 4πr2；圆的面积S = πr2，球的体积V = 4/3πr3。在从二维到三维的类比过程中，能看到它们形式上的类似与不同。
看下一个，圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，这是垂径定理，类比到球中，球心与不过球心的截面圆的圆心的连线垂直于这个截面。下一个，与圆心距离相等的两弦相等，类比到球中是与球心距离相等的两截面面积相等。再下一个，与圆心距离不相等的两弦不相等，距圆心较近的弦较长，类比到球里是与球心距离不相等的两截面面积不相等，距球心较近的面积较大。最后一个，以点(x?, y?)为圆心，r为半径的圆的方程为(x - x?)2 + (y - y?)2 = r2，类比到球里，因为是从二维到三维的变化，圆心类比到球心是(x?, y?, z?)，所以以点(x?, y?, z?)为球心，r为半径的球的方程为(x - x?)2 + (y - y?)2 + (z - z?)2 = r2。