师：同学们好，从今天这节课开始，我们学习选修2 - 2第一章导数及其应用的第一节——变化率与导数。
大家看下图，这是大家非常熟悉的指数函数(y = 2^x)与幂函数(y = \sqrt{x})在((0, +\infty))内的图像。很容易看到，随着(x)增大，(y = 2^x)的图像变化越来越快，而(y = \sqrt{x})变化越来越慢。那我们如何形象、直观地理解变化的快和慢呢？从图中能看出，在(x)增大的前提下，(y = 2^x)的图像越来越陡峭，(y = \sqrt{x})的图像越来越平缓。也就是说，我们可以从陡峭或平缓的角度来认识变化的快和慢，越陡峭变化越快，越平缓变化越慢，这就是我们这节课要讲的主要内容——变化率问题。
大家都吹过气球，回忆吹气球的经历，不难想到，随着气球内空气容量增加，气球半径增加得越来越慢。我们怎么从数学角度描述这种现象呢？如果近似把气球看成球体，它的体积(V)与半径(r)的函数关系式是(V = \frac{4}{3}\pi r^3)。注意，我们要研究的是随着气球内空气容量增加，气球半径怎样变化，所以需要将体积关于半径的函数关系式，转化为半径关于体积的函数关系式。这个转化过程很简单，将(V = \frac{4}{3}\pi r^3)两边同时除以(\frac{4}{3}\pi)，得到(r^3 = \frac{3V}{4\pi})，再求立方根，就得到(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})。
来看一个问题，当空气容量(V)从(0)升增加到(1)升时，气球的平均膨胀率是多少？这主要涉及三个方面：一是空气容量变化了多少，很简单，(1 - 0 = 1)升；二是气球半径变化了多少，当空气容量从(0)增加到(1)升，相应半径从(r_0)变化到(r_1)，把(V = 0)和(1)分别代入(r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}})就能求出(r_0)和(r_1)，那么半径变化量就是(r_1 - r_0)；三是气球的平均膨胀率，就是半径变化量与体积变化量的比值，即(\frac{r_1 - r_0}{1 - 0})。用计算器可近似算出结果是(0.62)分米每升。
如果空气容量从(1)升增加到(2)升时，气球的平均膨胀率是多少呢？由前面解题过程，很容易得到平均膨胀率是(\frac{r_2 - r_1}{2 - 1})，可求出近似值是(0.16)分米每升。对比这两个结果，能看到当空气容量从(0)升增加到(1)升，再从(1)升增加到(2)升时，气球膨胀率从(0.62)分米每升变化到(0.16)分米每升，这就解释了为什么随着气球内空气容量增加，气球半径变化越来越慢。
当空气容量从(V_1)增加到(V_2)时，气球的平均膨胀率是多少呢？就是(\frac{r(V_2) - r(V_1)}{V_2 - V_1})。
再来看高台跳水问题，跳水运动是我国体育运动强项，我国在这个项目上被称为梦之队，涌现出像郭晶晶、吴敏霞这样优秀的运动员，她们被称为跳水女皇。在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度(h)与起跳后的时间(t)（单位分别为米和秒）存在函数关系式(h(t) = -4.9t^2 + 6.5t + 10)，(h(t))是否随着(t)的变化而均匀变化呢？
看第一个小题，求(0 - 0.5)这段时间里运动员的平均速度是多少。这是物理学知识，平均速度就是运动员距离水面高度的变化量与时间变化量的比值，即(\overline{V} = \frac{h(0.5) - h(0)}{0.5 - 0})。把(t = 0.5)和(0)分别代入(h(t) = -4.9t^2 + 6.5t + 10)，可求得结果是(4.05)米每秒。
第二个问题，求(1 - 2)这段时间里运动员的平均速度是多少。同样，(\overline{V} = \frac{h(2) - h(1)}{2 - 1} = -8.2)米每秒。对比这两个结果，很容易发现(h(t))并不是随着(t)的变化而均匀变化的。
接下来看一个探究性问题，求(0 - \frac{65}{49})这段时间里运动员的平均速度。(\overline{V} = \frac{h(\frac{65}{49}) - h(0)}{\frac{65}{49}})，最终求得结果是(0)。大家要注意，这里平均速度是(0)，并不意味着运动员在这段时间内是静止的。从短视频里看到，在这个时间段内，运动员经历了从起跳到上升，到最高点再下降的过程，所以不能简单用平均速度来描述运动员的运动状态。有同学可能会问，用什么才能更合适地描述运动员的运动状态呢？这是下节课要讲的内容。同样，我们能不能获得求解平均速度的一般性方法呢？当(t)在(t_1)到(t_2)这段时间里，运动员的平均速度就是(\overline{V} = \frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1})。
通过对前面两个小题的研究发现，对于高台跳水，平均膨胀率就是(\frac{r(V_2) - r(V_1)}{V_2 - V_1})，高台跳水的平均速度就是(\overline{V} = \frac{h(t_2) - h(t_1)}{t_2 - t_1})。无论是气球的平均膨胀率，还是高台跳水的平均速度，都是函数值的变化量与自变量的变化量的比值，这个比值对于函数来说，其实就是函数的平均变化率。
来看相关定义，已知函数(y = f(x))，当自变量(x)从(x_1)变化到(x_2)时（(x_1 \neq x_2)），相应函数值从(f(x_1))变化到(f(x_2))，比值(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1})就是函数从(x_1)到(x_2)的平均变化率。习惯上用(\Delta x)表示(x_2 - x_1)，(\Delta y = f(x_2) - f(x_1))，所以(\Delta x)和(\Delta y)分别是自变量的变化量和函数值的变化量，函数的平均变化率又可表示为(\frac{\Delta y}{\Delta x})。因为用(\Delta x)表示(x_2 - x_1)，所以(x_2)也可用(x_1 + \Delta x)表示。
接下来看函数平均变化率定义的应用性问题，要求函数(f(x))在(1)、(2)、(3)附近，(f(x) = \frac{1}{2})时的平均变化率(K_1)、(K_2)、(K_3)。根据平均变化率定义，可以分别求出(x_0)在(1)、(2)、(3)附近的平均变化率，比如(x = 1)附近的平均变化率就是(\frac{f(1 + \frac{1}{2}) - f(1)}{\frac{1}{2}})，(2)、(3)以此类推。同学们注意到了吗，我们也可以先求出(f(x) = 3x^2 + 2)在(x = x_0)附近平均变化率的一般形式。根据定义，先给(x_0)一个变化量(\Delta x)，那么在(x_0)附近的平均变化率就是(\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x})，最终求得结果是(6x_0 + 3\Delta x)。然后把(1)、(2)、(3)分别代替(6x_0 + 3\Delta x)中的(x_0)，用(\frac{1}{2})代替(\Delta x)，就能求出相应结果。第二种方法相对第一种更简单，希望同学们体会。
通过本题，我们获得了求函数(f(x))在(x = x_0)附近平均变化率的一般步骤：第一步，求函数值的变化量(\Delta y)，即(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))；第二步，计算平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x})。这里要注意(\Delta x)和(\Delta y)的值可正可负。为什么呢？假设(x_1 < x_2)，那么分子(f(x_2) - f(x_1))的大小不确定，因为这可能涉及函数单调性等因素，所以(\Delta y)可正可负。(\Delta x)呢，比如研究(f(x))从(1)到(2)的平均变化率，也可以研究从(2)到(1)的平均变化率，这时(\Delta x)就是(1 - 2)，所以(\Delta x)也可正可负，同时要注意(\Delta x \neq 0)，而(\Delta y)可以为(0)，比如高台跳水探究性问题中平均速度为(0)，还有常函数(\Delta y)也是(0)。
到这里我们具体学习了平均变化率的定义、相关应用和解题方法，下面通过图像进一步了解平均变化率。对于函数(y = f(x))，当自变量由(x_1)变化到(x_2)时，相应函数值从(f(x_1))变化到(f(x_2))，它的平均变化率就是(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1})。从图中直观看到，((x_1, f(x_1)))是图像上(A)点坐标，((x_2, f(x_2)))是(B)点坐标，根据两点间斜率关系，(\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1})就是经过曲线(A)、(B)两点直线的斜率。所以平均变化率对应的就是经过曲线上两点直线的斜率，通常把经过曲线上两点的这条直线叫做割线，因此平均变化率的几何意义就是经过曲线上两点割线的斜率。
来看平均变化率几何意义的应用。典例二，过曲线(y = x^2 - x)上两点(P)、(Q)作曲线的割线，已知割线斜率是(2)，求(\Delta x)的值。根据平均变化率几何意义，割线斜率就是(f(x))当(x)由(1)变化到(1 + \Delta x)时的平均变化率，即(\frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x})。看解题过程，先求出(\Delta y)，再求出平均变化率，得到(1 + \Delta x)，它等于(2)，所以很容易求得(\Delta x = 1)。
再看跟踪训练1，过曲线(y = x^3)上两点(P(1, 1))和(Q(1 + \Delta x, 1 + \Delta y))作曲线的割线，求当(\Delta x = 0.1)时割线的斜率。求割线斜率就是求(x)从(1)变化到(1 + \Delta x)时的平均变化率，把(\Delta x = 0.1)代入。看具体解题过程，(\Delta y = (\Delta x)^3 + 3(\Delta x)^2 + 3\Delta x)，最终求出平均变化率(\frac{\Delta y}{\Delta x} = (\Delta x)^2 + 3\Delta x + 3)，将(\Delta x = 0.1)代入，结果是(3.31)，这就是平均变化率，也是割线的斜率。
典例三，比较正弦函数(y = \sin x)在(x = 0)和(x = \frac{\pi}{2})附近的平均变化率哪个大。前面总结过求函数(f(x))在(x = x_0)附近平均变化率的一般步骤，本题就是求(\frac{\sin(0 + \Delta x) - \sin0}{\Delta x})和(\frac{\sin(\frac{\pi}{2} + \Delta x) - \sin\frac{\pi}{2}}{\Delta x})，即(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})和(\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x})。很容易求得(0)附近的平均变化率是(\frac{\sin\Delta x}{\Delta x})，(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率是(\frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x})。因为(\Delta x)可正可负，所以要分情况讨论。
先看(\Delta x > 0)，由于(\vert\Delta x\vert)非常小，(\sin\Delta x > 0)，(\Delta x > 0)，所以(0)附近的平均变化率是正数；(\cos\Delta x - 1 < 0)，分母(\Delta x > 0)，所以(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率是负数，正数大于负数，所以在(\Delta x > 0)条件下，(0)附近的平均变化率比(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率大。
(\Delta x < 0)时，(\sin\Delta x < 0)，(\Delta x < 0)，所以(0)附近的平均变化率依然大于(0)；(\cos\Delta x - 1)还是小于(0)，分母(\Delta x < 0)，所以(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率也是大于(0)的。两个正值比较大小，想到做差。设(0)附近的平均变化率用(K_1)表示，(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率用(K_2)表示，(K_1 - K_2 = \frac{\sin\Delta x}{\Delta x} - \frac{\cos\Delta x - 1}{\Delta x} = \frac{\sin\Delta x - \cos\Delta x + 1}{\Delta x})。对于分子前两项(\sin\Delta x - \cos\Delta x)，提取(\sqrt{2})，利用正弦差角公式通过三角变换，得到(\sqrt{2}\sin(\Delta x - \frac{\pi}{4}))。因为(\sin\Delta x < 0)且(\vert\Delta x\vert)非常小，所以(\Delta x - \frac{\pi}{4} < -\frac{\pi}{4})且(\Delta x - \frac{\pi}{4} > -\frac{\pi}{2})，那么(\sin(\Delta x - \frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2})，(\sqrt{2}\sin(\Delta x - \frac{\pi}{4}) < -1)，所以分子小于(0)，分母也小于(0)，最终结果大于(0)，即(K_1 - K_2 > 0)，(K_1 > K_2)。所以无论(\Delta x > 0)还是(\Delta x < 0)，(0)附近的平均变化率都比(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率大。
从函数图像看，(0)附近图像很陡峭，(\frac{\pi}{2})附近图像很平缓，(0)附近的平均变化率比(\frac{\pi}{2})附近的平均变化率大。由此我们是否可以认为越陡峭平均变化率越大，越平缓平均变化率越小呢？带着这个疑问看跟踪训练2，比较(y = f(x))当(x)从(-1)到(1)，再从(1)到(2)平均变化率(V_1)与(V_2)的大小。根据平均变化率几何意义，比较(V_1)与(V_2)大小就是比较经过(A)、(B)两点与(B)、(C)两点割线的斜率。画出这两条割线，如果把经过(A)、(B)两点割线的倾斜角表示为(\alpha_1)，经过(B)、(C)两点割线的倾斜角表示为(\alpha_2)，从图中直观看到(\alpha_1 < \alpha_2)，且它们都是锐角，都在((0, \frac{\pi}{2}))之间。结合斜率与倾斜角函数关系，在((0, \frac{\pi}{2}))之间，(k)随着(\alpha)增大而增大，所以(k_{AB} < k_{BC})，且它们都大于(0)。既然(k_{AB} < k_{BC})，所以(V_1 < V_2)，即这里(C)答案正确。同时注意到(BC)段相对(AB)段更陡峭，且对应的平均变化率也大，这似乎和刚才例题结论一致。
再看点例4，(A)、(B)两机关单位开展节能活动，活动开始后，两机关单位用电量(W_1(t))与(W_2(t))关系如图所示。从图直观看到(W_1(t))相对(W_2(t))更陡峭，那(W_1(t))对应的平均变化率是不是比(W_2(t))对应的平均变化率更大，(C)答案是不是正确呢？还是借助平均变化率几何意义来判断。画出经过(A)、(C)两点和(B)、(C)两点的直线，把经过(A)、(C)两点割线的倾斜角用(\alpha_3)表示，经过(B)、(C)两点割线的倾斜角用(\alpha_4)表示。从图中看到(\alpha_3 < \alpha_4)，且它们都是钝角，都大于(\frac{\pi}{2})小于(\pi)。结合斜率关于倾斜角图像，在((\frac{\pi}{2}, \pi))之间，斜率随倾斜角增大而增大，所以(\alpha_3 < \alpha_4)，则(k_{AC} < k_{BC})，此时它们都小于(0)。(k_{AC} < k_{BC})，意味着(W_1(t))的平均变化率比(W_2(t))平均变化率更小，所以(C)答案错误，即(A)单位平均变化率比(B)单位平均变化率小。
从这里看出，不能简单将平均变化率与陡峭和平缓对应，但又感觉它们有密切联系，到底怎样对应呢？回到前面两个问题，跟踪训练2中(k_{AB} < k_{BC})且都大于(0)，所以(\vert k_{AB}\vert < \vert k_{BC}\vert)；点例4中虽然(k_{AC} < k_{BC})，但都小于(0)，反过来(\vert k_{AC}\vert > \vert k_{BC}\vert)。而(k_{AB})、(k_{BC})对应的更平缓，(\vert k_{AC}\vert)、(\vert k_{BC}\vert)绝对值大的更陡峭。所以平均变化率的绝对值才与陡峭和平缓对应，绝对值越大越陡峭，变化越快；绝对值越小越平缓，变化越慢。
今天这节课主要讲了平均变化率的定义、几何意义和相关应用。简单回顾一下，平均变化率就是函数值变化量与自变量变化量的比值，刻画了函数值在(x_1)到(x_2)区间上变化的快慢。还要注意平均变化率的绝对值越大，变化越快越陡峭；绝对值越小，变化越慢越平缓。另外，平均变化率的几何意义是经过曲线上两点割线的斜率。这是今天的作业，今天这节课就讲到这里，谢谢大家。