师：各位同学大家好，今天将继续由我带领大家学习高中数学人教A版选修2 - 2复数代数形式的四则运算第二课时。首先，我们来回忆一下上节课主要学习了哪些内容。上节课我们主要学习了复数的加法法则和减法法则。对于两个复数，已知复数(Z_1 = a + bi)，复数(Z_2 = c + di)（这里(a)、(b)、(c)、(d)都是实数），我们就有(Z_1 + Z_2 = (a + c) + (b + d)i)，而(Z_1 - Z_2 = (a - c) + (b - d)i)。我们会发现，这里的运算遵循复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，这类似于我们之前学习的多项式运算，且复数的加减得到的是一个确定的复数。那大家想一想，在复数当中，乘除法又应该得到一个怎样的结果呢？我们一起来看一看。
我们知道多项式乘法((a + b)×(c + d))，可以得到(ac + ad + bc + bd)。那么在数系扩充以后，复数的乘法应当怎样规定呢？我们规定对于两个复数(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)（(a)、(b)、(c)、(d)为实数），那么((a + bi)×(c + di) = ac + bci + adi + bdi2)。这里面的(i2)，根据我们之前学到的虚数定义可知(i2 = - 1)，所以经过整理可以得到((ac - bd) + (bc + ad)i)。
大家看这里，我们会发现复数的乘法，就像两个多项式相乘，只需将(i2)换成(- 1)，再把实部和实部整理在一起，虚部与虚部整理在一起，最后得到的结果是一个确定的复数。下面我们来做一道小练习，计算((1 - 2i)×(3 + 4i))。那((1 - 2i)×(3 + 4i))就等于(1×3 - 2i×3 + 1×4i + (-2i)×4i)，得到的结果是(3 + 8 + (-6 + 4)i)，所以最后结果是(11 - 2i)。
学习了复数的乘法则以后，我们考虑一下，在实数中乘法是有相关运算律的，那复数中这些运算律是否依然成立呢？我们给出复数的运算律，首先是交换律，对于两个复数，(Z_1×Z_2 = Z_2×Z_1)。对于三个复数，它依然满足结合律，即(Z_1×Z_2×Z_3 = Z_1×(Z_2×Z_3))。乘法对加法的分配律也依然满足，即(Z_1×(Z_2 + Z_3) = Z_1×Z_2 + Z_1×Z_3)。下面我们选取交换律一起来进行验证一下。
对于两个复数(Z_1)和(Z_2)，分别取(Z_1 = A_1 + B_1i)，(Z_2 = A_2 + B_2i)（这里(A_1)、(A_2)、(B_1)、(B_2)都是实数），我们来计算一下。(Z_1×Z_2 = (A_1 + B_1i)×(A_2 + B_2i))，根据刚才学习的乘法则，它应该等于(A_1A_2 + B_1A_2i + A_1B_2i + B_1B_2i2)，整理后实部是(A_1A_2 - B_1B_2)，虚部是(B_1A_2 + A_1B_2)。
那我们再来计算(Z_2×Z_1 = (A_2 + B_2i)×(A_1 + B_1i))，同样整理出它的实部为(A_2A_1 - B_2B_1)，虚部为(B_2A_1 + A_2B_1)。我们把这两者的实部和虚部标出来，就实部而言，在我们之前学习的实数交换律基础上，会发现(A_1A_2 - B_1B_2 = A_2A_1 - B_2B_1)，虚部(B_1A_2 + A_1B_2 = B_2A_1 + A_2B_1)。根据之前学习到的复数相等的定义，不难发现(Z_1×Z_2 = Z_2×Z_1)，这就表明了复数的乘法满足交换律。
既然复数的乘法满足交换律，同样的道理，我们也可以去证明复数的乘法满足结合律以及乘法对加法的分配律，这里我就不再证明了，请各位同学课后自己做一下。
学习了复数的乘法以及复数乘法的相关运算律，我们来做一道这样的练习，计算((1 - 2i)×(3 + 4i)×(-2 + i))。我们会发现三个复数相乘，可以先考虑前两个复数的乘法。刚才我们已经计算出((1 - 2i)×(3 + 4i) = 11 - 2i)，那我们再将((11 - 2i)×(-2 + i))，这里等于(11×(-2) + (-2i)×(-2) + 11×i + (-2i)×i)，所以它的实部应该是(11×(-2) + 2 = -20)，虚部是((-2)×(-2) + 11 = 15)，最后结果是(-20 + 15i)。
我们再来一起计算一下第二题，第一个((1 + 2i)2)，我们说((1 + 2i)2)可以理解为((1 + 2i)×(1 + 2i))。根据之前学习到的乘法法则，这里就等于(1×1 + 2i×1 + 1×2i + (2i)2)，所以得到的结果应该是(-3 + 4i)。再来看第二个练习，((3 + 4i)×(3 - 4i))，这里等于(3×3 + 4×3i - 3×4i - 4i×4i)，所以结果是(9 - (-16) = 25)。
那这是我们通过之前的乘法则得到的结果，有没有其他方法来计算呢？我们观察一下((1 + 2i)2)和((3 + 4i)×(3 - 4i))这两个式子的形式，不难发现它与我们在实数当中学习到的完全平方公式和平方差公式类似。因此我们尝试着用在实数中的乘法公式在这里进行使用，看看是否符合。
所以((1 + 2i)2 = 12 + 2×1×2i + (2i)2 = -3 + 4i)，这与刚才我们利用乘法则计算的结果一致。再看((3 + 4i)×(3 - 4i))，如果运用平方差公式，得到的结果应该是(32 - (4i)2 = 9 - (-16) = 25)，这与刚才利用乘法法则计算的结果也是一致的。
那么我们就会产生这样的思考，在复数的乘法运算中，之前所学习到的实数的乘法公式在这里是否依然能够使用呢？我们一起来验证一下。
我们首先考虑((a + bi)2)，利用乘法公式，((a + bi)2 = (a + bi)×(a + bi))，按照乘法公式进行整理，可以得到(a2 + abi + bai + b2i2 = a2 - b2 + 2abi)。如果用乘法公式的形式来写，也是(a2 + 2abi + (bi)2)，它们的结果是一致的。
再来计算((a + bi)×(a - bi))，利用乘法则，它等于(a2 + abi - abi - b2i2 = a2 + b2)，这里它也是符合乘法公式运算的。所以我们可以得到这样的结论，两个复数相乘，既可以用复数的乘法法则，也可以用乘法公式来进行计算。当然这里的乘法公式指的就是与实数系中乘法公式相对应的公式。
学习了复数的乘法法则和乘法的运算律，我们再来观察一下刚才第二问当中两个复数有什么样的特征。刚才的两个复数可以简化为(a + bi)和(a - bi)，我们会发现它们的实部是相同的，虚部是互为相反数的。因此我们有了这样一个规定，当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，就称这两个复数互为共轭复数。要注意的是，如果这个复数虚部不等于(0)，这样的两个复数我们也可以称为共轭虚数，而且通常我们把复数(z)的共轭复数称为(\overline{z})。
同学们，下面试着指出以下几个复数的共轭复数是多少？首先第一个(3 - 2i)，它的实部为(3)，虚部为(-2)，所以它的共轭复数应该是(3 + 2i)。对于第二个复数(5i)而言，它的实部是(0)，虚部是(5)，所以它的共轭复数应该是(-5i)。对于第三个复数，它的实部就是(7)，虚部是(0)，所以它的共轭复数就是(7)。所以我们也能发现，对于实数而言，它的共轭复数就是本身。那共轭复数应该如何寻找呢？就是要找到复数的实部与虚部，实部保持相等，虚部取它的相反数就可以了。
那我们再来探究这样一个问题，如果两个复数(z)和(\overline{z})，它们是互为共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的位置关系呢？第二个问题就是这两个数相乘是一个怎样的数呢？
首先对于复数(z = a + bi)，它在复平面上所对应的点就是((a, b))，它的共轭复数(\overline{z} = a - bi)在复平面上所对应的点就是((a, -b))。我们在复平面当中画出这两个复数所对应的点，不难发现这两个点它们应该是关于(x)轴对称的。