师：好，上课。各位同学大家好，今天由我带领大家学习高中人教A版数学选修2 - 2复数代数形式的四则运算第一课时。首先，我们回忆一下上节课学了哪些内容。
我们引入了虚数单位(i)，规定(i^2 = -1)，进而得到复数的代数形式(z = a + bi)，其中(a,b\in R)，(a)是实部，(b)是虚部。当(b = 0)时，复数(z)是实数；当(b\neq0)时，复数(z)是虚数；当(a = 0)且(b\neq0)时，它是纯虚数。
我们还学习了复数的几何意义，复数(z = a + bi)与平面上的点((a,b))一一对应，也与向量(\overrightarrow{OZ}=(a,b))一一对应。最后，我们学习了复数的模，复数的模(\vert z\vert = \sqrt{a^2 + b^2})。
把实数系扩充到复数系后，复数系中有怎样的运算呢？我们先来看第一个问题，类比实数的运算法则，能否得到复数的运算法则？实数中有加减乘除基本运算，复数中是否也有呢？我们从加法开始考虑。
我们规定复数的加法法则：对于两个复数(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)（(a,b,c,d)都是实数），它们的和(Z_1 + Z_2 = (a + c)+(b + d)i)。可以发现，复数加法实质就是实部与实部相加，虚部与虚部相加，结果仍是复数，类似于多项式中的合并同类项。
了解了复数加法运算，我们做个简单练习。计算(2 + 4i + 3 - 5i)，根据加法法则，先找出实部(2)和(3)，虚部(4)和(-5)，则((2 + 3)+(4 - 5)i = 5 - i)。
再看几个判断：两个实数的和是实数，没问题；两个复数的和是复数，这在规定中已有体现，也没问题；那两个虚数的和是虚数，这句话对吗？比如(Z_1 = i)，(Z_2 = -i)，(Z_1 + Z_2 = 0)，不是虚数，所以这句话不正确。
了解两个复数加法后，三个复数如何运算呢？给出三个复数(Z_1)、(Z_2)、(Z_3)，(Z_1 = A_1 + B_1i)，(Z_2 = A_2 + B_2i)，(Z_3 = A_3 + B_3i)。三个复数相加，不妨先考虑(Z_1)和(Z_2)的和，(Z_1 + Z_2 = (A_1 + A_2)+(B_1 + B_2)i)，那三个复数的和就可理解为((Z_1 + Z_2)+Z_3)，即把三个复数的和转化为求两个复数的和。同理，四个、五个复数的和等都能这样计算。
明确复数加法法则后，实数加法有交换律和结合律，复数加法的交换律和结合律是否依然成立呢？
先看交换律，对于两个复数(Z_1 = A_1 + B_1i)，(Z_2 = A_2 + B_2i)，(Z_1 + Z_2 = (A_1 + A_2)+(B_1 + B_2)i)，(Z_2 + Z_1 = (A_2 + A_1)+(B_2 + B_1)i)，因为(A_1 + A_2 = A_2 + A_1)，虚部也相同，所以(Z_1 + Z_2 = Z_2 + Z_1)，复数加法符合交换律。
再看结合律，给出三个复数(Z_1 = A_1 + B_1i)，(Z_2 = A_2 + B_2i)，(Z_3 = A_3 + B_3i)，((Z_1 + Z_2)+Z_3 = (A_1 + A_2 + A_3)+(B_1 + B_2 + B_3)i)，(Z_1 + (Z_2 + Z_3) = (A_1 + A_2 + A_3)+(B_1 + B_2 + B_3)i)，实部和虚部都相等，所以结合律也满足。
了解复数加法交换律和结合律后，思考复数加法是否有几何意义。上节课提到复数与向量一一对应，向量加法有几何意义。假设复数(Z_1)、(Z_2)对应的向量是(\overrightarrow{OZ_1})和(\overrightarrow{OZ_2})，(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，(\overrightarrow{OZ_1}=(a,b))，(\overrightarrow{OZ_2}=(c,d))，根据向量平行四边形法则，(\overrightarrow{OZ_1} + \overrightarrow{OZ_2}=\overrightarrow{OZ}=(a + c,b + d))，而(Z_1 + Z_2 = (a + c)+(b + d)i)，两个复数的和与两个向量的和形成一一对应关系，所以复数加法能按向量加法进行，这就是复数加法的几何意义。
思考复数(Z_1 + Z_2)的模的几何意义，(Z_1 + Z_2)对应的是(\overrightarrow{OZ})，其模就是(\overrightarrow{OZ})的模，即平行四边形对角线的长度。
实数中有减法，结合复数加法法则，能否给出复数的减法法则呢？复数的减法是复数加法的逆运算，满足((c + di)+(x + yi)=a + bi)，(x + yi)就叫做复数(a + bi)减去复数(c + di)的差，即((a + bi)-(c + di))。
根据加法法则，(c + x = a)，(d + y = b)，所以(x = a - c)，(y = b - d)，则((a + bi)-(c + di)=(a - c)+(b - d)i)，与加法法则类似，本质仍是实部与实部相减，虚部与虚部相减，得到一个确定的复数。
做个练习，计算(2 + 4i-(3 + i))，实部(2 - 3 = -1)，虚部(4 - 1 = 3)，结果是(-1 + 3i)。
类比复数加法几何意义，探究复数减法的几何意义。在复平面中画出向量(\overrightarrow{OZ_1})和(\overrightarrow{OZ_2})，对应复数(Z_1 = a + bi)，(Z_2 = c + di)，(\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}=\overrightarrow{Z_2Z_1}=(a - c,b - d))，而(Z_1 - Z_2 = (a - c)+(b - d)i)，两个向量的差与两个复数的差一一对应，所以复数减法能按向量减法进行，这就是复数减法的几何意义。
思考复数(Z_1 - Z_2)模长的几何意义，(Z_1 - Z_2)对应的向量是(\overrightarrow{Z_2Z_1})，其模长与(\overrightarrow{Z_2Z_1})模长相同，即三角形中线段(Z_2Z_1)的长度。