师：同学们，大家好。今天我们共同学习选修2 - 2第三章第一节的内容。首先，请同学们回顾一下，从小到大我们学习的数是如何产生的。数的概念源于表示事物的个数，在社会发展过程中，人们掌握了如屈指计数、结绳计数、堆石子计数等表示事物个数的方法，并从计数过程中抽象出0、1、2、3、4等数，这些数被称为自然数。
随着生产生活的需要，人们发现仅靠自然数不够，比如3个人平分4个苹果，结果无法用自然数表达，于是分数产生了。早在公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子发现，边长为1的正方形对角线长无法用整数之比，即有理数来表达，无理数由此出现在人们面前。从公元前500年无理数被发现，到17世纪法国数学家笛卡尔引入根号运算符号，再到19世纪无理数体系完全确立，历经了2300多年。今天，我们就追寻数的发展足迹，探究数系的扩充问题。
什么是数系呢？数系指系统，包含运算及结构，一个数集连同其运算及结构称为数系。我们可以用一组方程形象说明数系的发展变化过程。
从自然数集开始，在自然数集中求方程x + 1 = 0的解，该方程无解，因为0 - 1的结果不是自然数，也就是说减法运算在自然数集中不是总能进行的。为解决这个问题，我们在自然数集基础上添加负整数，扩充到整数集，问题就解决了。而且，自然数集是整数集的真子集。
方程2x + 1 = 0在整数集中也无解，这说明除法运算在整数集中也不是总能进行的，引入分数很有必要。加入分数后，数系扩充到有理数集。
在有理数集中，方程x2 - 2 = 0无解，说明在有理数集中开方运算不是总能进行的。加入无理数，解决了这一矛盾，得到实数集，这是目前我们学过的最大数集。
接下来看方程x2 + 1 = 0，在实数集中该方程无解。我们能否类比前三次数系扩充的过程，在实数集中添加新数得到新数系呢？如果这样做，数系扩充过程有哪些特点和基本原则呢？请同学们回顾前三次数系扩充过程，用自己的语言归纳数系扩充的特点。
生：（思考后回答）
师：相信同学们都有了自己的结论。数系扩充有以下特点：第一，原有的数集是新数集的真子集，因为扩充是在原有数集基础上添加新数，所以原有数集是新数集的子集；第二，数集扩充后，原有的运算及其性质在新数集中依然适用；第三，数系扩充解决了原有数集中的一些矛盾，比如自然数系中减法不能总实施，在整数系中就可以；第四，数系扩充是循序渐进的。
现阶段我们通过已学知识得出这些数系扩充特点的结论，数系扩充更完备的遵循原则，我们在大学阶段会更细致严谨地学习。
回到方程x2 + 1 = 0，它在实数系下无解，主要原因是实数集中负数不能开平方。为解决这个问题，引入新数扩充数系很有必要。同学们，你们有解决方法吗？
为解决这个问题，我们设想引入一个新数i，并规定i2 = -1，且实数可以与i进行四则运算。这个新数i称为虚数单位，最早由欧拉在1777年引用，它源于imaginary一词的首字母，原意是只存在于虚幻之中。
为确保新数系下运算能继续进行，我们规定实数可以与i进行四则运算，实数a与i相加，结果记为a + i；实数b与i相乘，结果记为bi；实数a与bi相加，结果记作a + bi。由于加法乘法运算律在新数系下应继续适用，所以以上形式可统一写成a + bi，其中a、b均为实数。
从虚数单位引入到新数系完全确立，又经历了200多年，新数系确立的最大难点在于突破人们固有的认知障碍。随着虚数单位的引入和新数a + bi的构造，为确立新数系，我们还需确定哪些相关概念呢？接下来我们继续学习。
首先是复数的定义。我们把集合C = {a + bi | a, b ∈ R}中的数，即形如a + bi（a, b ∈ R）的数叫做复数，全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示，即z = a + bi（a, b ∈ R），这种表达形式叫做复数的代数形式。以后不做特殊说明，都有a, b ∈ R。在这里，a称为复数z的实部，bi的系数实数b称为复数的虚部。
请同学们运用刚学的概念，完成下面练习：说出下列复数的实部和虚部。6 + √2i，实部为6，虚部为√2；√3i，可看作0 + √3i，实部为0，虚部为√3；2 + i，实部为2，虚部为1；3 - 2i，实部为3，虚部为 - 2；实数2，实部为2，虚部为0。
在学习实数时，确立概念后我们对实数进行了分类。同学们，你们能对复数分类提出自己的想法吗？
生：（思考后回答）
师：对于复数z = a + bi，当虚部b = 0时，这个复数就是我们熟悉的实数a；当b ≠ 0时，这个复数称为虚数。在z为虚数的前提下，如果实部a = 0，此时z = bi，我们称这个数为纯虚数；如果虚部不为0，实部也不为0，所得的数称为非纯虚数的虚数。
我们可以用韦恩图对各类复数进行分类，复数集由实数集和虚数集共同构成，虚数集中又有由纯虚数构成的纯虚数集。从韦恩图中可直观看出，实数集R是复数集C的真子集，即R?C。
接下来通过两个小练习巩固复数的分类。说明下列各数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数。0.618是实数；2/7i，虚部非0，是虚数，且实部为0，所以也是纯虚数；3 - 9√2i是虚数；i2 = - 1，是实数；8 + 5i是虚数。