师：同学们好，上节课我们学习了数学归纳法的相关知识，本节课我们继续学习数学归纳法的应用。首先，我们来回顾一下什么是数学归纳法。数学归纳法要求有两个步骤和一个结论。第一，证明当(n)取第一个值(n_0)（(n_0)属于正整数）时，命题成立。第二，假设当(n = k)（(k \geq n_0)且(k)属于正整数）时，命题成立，然后通过(n = k)证明(n = k + 1)时，命题也成立，这里必须要用到归纳假设。第三，由上述第一步和第二步可知，对于从(n_0)开始的所有自然数(n)，命题都成立。这里的第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，只有当归纳奠基和归纳递推都成立时，才能得出正确结论。
师：第二个问题，数学归纳法适用于什么类型的问题呢？通过上节课的学习，我们知道数学归纳法适用于解决或证明与自然数有关的命题。今天这节课，我们就来进一步学习利用数学归纳法证明与自然数有关的以下几种题型。
师：首先来看题型一，数列有关问题。在这类问题中，通常是由归纳到猜想，再到证明。例一，已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，首项(a_1 = 1)，(S_n = n^2a_n)，(n \in N^+)。一试求出(S_1)，(S_2)，(S_3)，(S_4)，并猜想(S_n)的表达式，证明你的猜想并求出(a_n)的表达式。
师：首先，我们利用题目条件求(S_1)到(S_4)，并根据其特点猜想(S_n)的表达式。在数列中，当(n \geq 2)时，(a_n = S_n - S_{n - 1})。所以条件中的(S_n = n^2a_n)可换成(S_n = n^2(S_n - S_{n - 1}))（(n \geq 2)），由此得到当(n \geq 2)时，(S_n = \frac{n^2}{n^2 - 1}S_{n - 1})。又因为(a_1 = 1)，所以(S_1 = 1)。进而推出(S_2 = \frac{4}{3})，(S_3 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4})，(S_4 = \frac{8}{5})。由此我们猜想(S_n = \frac{2n}{n + 1})。这个猜想是否正确呢？下面我们用数学归纳法进行证明。
师：当(n = 1)时，(S_1 = 1)，命题成立。假设当(n = k)（(k \geq 1)，(k \in N^+)）时，等式成立，即(S_k = \frac{2k}{k + 1})。当(n = k + 1)时，因为(S_{k + 1} = (k + 1)^2a_{k + 1})，又因为(S_{k + 1} = S_k + a_{k + 1} = a_{k + 1} + \frac{2k}{k + 1})。把(S_k)用归纳假设中的(\frac{2k}{k + 1})替换，即((k + 1)^2a_{k + 1} = a_{k + 1} + \frac{2k}{k + 1})，进一步得到(a_{k + 1} = \frac{2}{(k + 1)(k + 2)})。又因为(S_{k + 1} = (k + 1)^2a_{k + 1})，所以(S_{k + 1} = \frac{2(k + 1)}{(k + 1) + 1})，凑成了结论的形式，说明当(n = k + 1)时，等式也成立，即归纳递推正确。由上述可知，对任意的(n \in N^+)，命题都成立。
师：题目还要求求出(a_n)的通项公式，由(a_{k + 1} = \frac{2}{(k + 1)(k + 2)})，可得(a_n = \frac{2}{n(n + 1)})。第一题就是用数学归纳法解决与数列有关的问题。我们要知道，由归纳猜想得到的结论未必正确，其正确性必须进一步验证。归纳只是提供了解题的思维方向，不具有科学性，而数学归纳法是具有科学性的。数列是定义在正整数上的函数，这与数学归纳法的运用范围一致，所以数列中有关通项公式以及前(n)项和的大小比较等问题，都可以考虑用数学归纳法解决。
师：接下来我们看第二种题型，利用数学归纳法证明恒等式问题。例2，用数学归纳法证明(1×4 + 2×7 + 3×11 + \cdots + n(3n + 1) = n(n + 1)^2)，(n \in N^+)。
师：首先第一步归纳奠基，当(n = 1)时，左边(= 1×4 = 4)，右边(= 1×2^2 = 4)，等式成立，即归纳奠基正确。
师：第二步，假设当(n = k)时，等式成立，即(1×4 + 2×7 + 3×11 + \cdots + k(3k + 1) = k(k + 1)^2)。当(n = k + 1)时，(1×4 + 2×7 + 3×11 + \cdots + k(3k + 1) + (k + 1)[3(k + 1) + 1])，前面(1×4 + 2×7 + \cdots + k(3k + 1))用假设中的(k(k + 1)^2)替换，该等式变为(k(k + 1)^2 + (k + 1)[3(k + 1) + 1])，进一步计算化简得到((k + 1)(k^2 + 4k + 4) = (k + 1)(k + 2)^2)。为了得到最终要证明的等式形式，写成((k + 1)[(k + 1) + 1]^2)，说明当(n = k + 1)时，等式也成立，即归纳递推正确。由上述可知，对于任何(n \in N^+)，等式都成立。
师：这是用数学归纳法证明恒等式问题，接下来我们看题型三，用数学归纳法证明不等式问题。例3，已知(S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n})，(n > 1)且(n \in N^+)，求证(S_{2^n} > 1 + \frac{n}{2})。
师：首先用数学归纳法，第一步归纳奠基，当(n = 2)时，(S_{2^n} = S_4 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{25}{12})，明显大于(1 + \frac{2}{2})，即当(n = 2)时，命题成立。这里要注意，初始值(n)是等于(2)的，也就是说归纳奠基中的初始值(n_0)不一定非得取(1)，要依据每道题的不同而确定。
师：第二步，当(n = k)时，(S_{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k} > 1 + \frac{k}{2})成立。当(n = k + 1)时，(S_{2^{k + 1}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k} + \frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k + 1}})。与(S_{2^k})相比，后面增加的项是(\frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k + 1}})，共(2^k)项。要证明后面的不等式，前面(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{2^k})用归纳假设中的式子替换，得到(S_{2^{k + 1}} > 1 + \frac{k}{2} + \frac{1}{2^k + 1} + \frac{1}{2^k + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{k + 1}})。