师：同学们，大家好！今天我们来学习合情推理与演绎推理第三课时。前面两节课，我们学习了合情推理，它分为归纳推理和类比推理。归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理。合情推理的结论不一定正确，但能帮助我们猜测和发现新结论，为数学问题的证明提供方向和思路。下面请大家思考问题：
以下推理是什么推理，具备什么特点？
因为金银铜铁铝能导电，猜想一切金属都能导电。这是归纳推理，是由特殊到一般的推理。
由等差数列具备的一个性质，猜想等比数列也具有类似性质。这是类比推理，是由特殊到特殊的推理。
所有的金属都能够导电，某物质是金属，所以该物质能够导电。请问这是归纳推理吗？显然不是。这是类比推理吗？也不是。所以这不是我们前面所说的合情推理，那这是什么推理呢？我们来分析一下这个推理的特征。
“所有的金属都能够导电”，这是金属具有的一般特征，是一种一般性的原理。
“某物质是金属”，这是金属里的一种特殊情况。
“所以该物质能够导电”，这是从一般性的原理出发，对特殊情况所下的结论。
再看一个类似的例子：三角函数都是周期函数，这是三角函数具备的性质，是一般性的原理。(\tan\alpha)是三角函数，这是三角函数里的一个特例，也就是特殊情况。因此(\tan\alpha)是周期函数，这也是由一般性的原理出发，对特殊情况所下的结论。
我们发现这两个例子具备一个共同特点，它们都是从一般性的原理出发，对某一特殊情况所下的结论。我们把这种推理称为演绎推理，这就是本节课要讲的内容。下面我们给出演绎推理的定义。
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。也就是说，演绎推理是由一般到特殊，由整体到部分的推理。那么下面我们来思考演绎推理的一般模式是什么？我们不妨再看刚才的这两个例子。
“所有的金属都能够导电”是一般性的原理，称为推理的大前提；“某物质是金属”是特殊情况，称为推理的小前提；“所以该物质能够导电”是从一般性的原理出发，对特殊情况所下的结论。
同理，“三角函数都是周期函数”为大前提，“(\tan\alpha)是三角函数”为小前提，“因此(\tan\alpha)是周期函数”为结论。我们发现这两个例子中都具备三段：大前提、小前提、结论，这就是演绎推理的一般模式——三段论。
三段论包括大前提、小前提、结论。其中大前提是已知的一般原理，可以是一些已知的事实，或者数学中已知的定义、定理、公理、性质等等。小前提是所研究的特殊情况。结论就是根据一般原理对特殊情况所做的判断。
演绎推理的三段论可以用数学语言简单描述为：(M)是(P)，(S)是(M)，所以(S)是(P)。为了便于大家理解，我们从集合的角度再来解释一下。(M)是(P)是指集合(M)中的所有元素都具有性质(P)，(S)是(M)的一个子集，所以(S)是(P)的子集，即(S)中所有元素也都具有性质(P)。例如刚才的例子当中，所有的金属相当于组成集合(M)，能导电相当于性质(P)，某物质相当于组成集合(S)，所以“所有的金属都能够导电”，是指集合(M)中的元素都具有性质(P)；“某物质是金属”即指(S)是(M)的一个子集；“所以该物质能导电”，是指(S)中所有元素也都具有性质(P)。
这就是三段论。同学们，你能再举出一些用三段论推理的例子吗？相信大家能举出很多。下面我们看这样的三个例子：
太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行。这就是一个三段论。
两条直线平行，同旁内角互补。如果(\angle A)、(\angle B)是两条平行直线的同旁内角，那么(\angle A + \angle B = 180^{\circ})，这也是一个三段论。
一切奇数都不能被(2)整除，(2^{100} + 1)是奇数，所以(2^{100} + 1)不能被(2)整除。这同样是三段论。
在数学中，数学问题的证明也主要是以演绎推理三段论的形式来进行的。下面我们看例一。
如图所示，在锐角三角形(ABC)中，(AD\perp BC)，(BE\perp AC)，(D)、(E)是垂足。求证(AB)的中点(M)到点(D)、(E)的距离相等。请大家思考该如何证明，而且告诉我你做题依据的一般原理是什么？
好，我们一起来看一下。因为(AD\perp BC)，所以三角形(ABD)是直角三角形。又因为(M)是(AB)边的中点，所以(DM)是斜边(AB)的中线。因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以(DM = \frac{1}{2}AB)。同理，(EM = \frac{1}{2}AB)，所以(DM = EM)。这就是一个大致的思路。
那么在刚才的思路当中，我们可以发现做题依据的一般原理有两个：
第一个，有一个内角是直角的三角形是直角三角形。
第二个，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
依据这两个一般原理，我们就可以给出本题的证明。
下面我们来看第一步：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形。在三角形(ABD)中，(AD\perp BC)，即(\angle ADB = 90^{\circ})。所以三角形(ABD)是直角三角形，这就是一个三段论。其中“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”为大前提，“(\angle ADB = 90^{\circ})”为小前提，“所以三角形(ABD)是直角三角形”为结论。同理，三角形(AEB)也是直角三角形。
第二步：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。而(M)是直角三角形(ABD)斜边(AB)的中点，即(DM)是斜边上的中线，所以(DM)等于斜边(AB)的一半，即(DM = \frac{1}{2}AB)。这也是一个三段论。其中“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”为大前提，“(DM)是斜边上的中线”为小前提，“(DM = \frac{1}{2}AB)”为结论。同理，(EM = \frac{1}{2}AB)，所以(DM = EM)。
本问题得证。那么本题中运用到了两个三段论，通过这个例子大家可以看出，用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，这样能让我们的证明思路非常清晰明了。因为大前提通常是已知的定义、定理、公理、性质，所以是显然的。在这种情况下，为了叙述简洁，可以省略掉大前提。那么本题的证明，如果我们省略了大前提，它的过程就是这样的，这就是一个通常的证明过程。
下面我们再看例二。证明函数(f(x)= -x^{2} + 2x)在((-\infty, 1))内是增函数。请大家思考该如何证明，而且思考一下证明所依据的一般原理是什么。
经过思考，我们发现本题有两种思路：
思路一，运用导数来证明：在某个区间((a, b))内，如果(f^\prime(x) > 0)，那么函数(y = f(x))在这个区间内单调递增。