师：各位同学大家好，今天这节课我们要学习高中数学人教版选修2 - 2第一章第五节第一小节——曲边梯形的面积。在之前的学习中，我们已经了解正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面图形的面积计算方法。而在数学和物理里，我们还会碰到计算由平面曲线围成的平面曲边图形的面积。大家看下面这个具体问题，思考图1.5 - 1中阴影部分，它类似梯形，但有一边是曲线(y = f(x))的一段。我们把由直线(x = a)，(x = b)（(a\neq b)），(y = 0)和曲线(y = f(x))所围成的图形称为曲边梯形。那么，如何计算这样一个曲边梯形的面积呢？有的同学可能觉得我现在画的图和梯形很相似，但如果把上端曲线部分连起来，就会发现这样计算面积是有误差的。关键就在于，怎样消除这个误差，这也是我们这节课要重点研究的内容，即运用之前学过的知识，来解决这个未知的曲边梯形面积问题。
为了方便研究，一般地，如果函数(y = f(x))在某个区间(I)上的图像是一条连续不断的曲线，我们就称它为区间(I)上的连续函数。像我们学过的函数，例如(y = x)，(y = x^{2})，(y = \sqrt{x})等，它们的图像都是某个区间上连续不断的曲线。在这个阶段的学习中，如果没有特别说明，我们下面研究的函数都是连续函数。
为了研究今天的问题，我们先从特殊情形入手，由特殊到一般。来看如何求抛物线(y = x^{2})与直线(x = 0)，(x = 1)，(y = 0)所围成的曲边梯形，也就是图中阴影部分的面积。这里说明一下，可能有同学觉得这个图形看起来不像梯形，但根据前面的规定，由(x = a)，(x = b)（(a\neq b)），(y = 0)和函数曲线围成的图形都符合要求，所以像这样的曲线图形也称为曲边梯形。那么，怎么求它的面积呢？首先，图中的曲边梯形与我们熟悉的直边图形主要区别是什么？很明显，这个图形上边是曲线，而直边图形边界全是直线。能否把这个曲边梯形面积(S)的问题，转化为求直边图形面积的问题呢？数学中转化与化归思想很重要，把未知转化为已知，同学们想想能不能转化成我们熟悉的直边图形？其实，从小学开始，我们研究的第一个曲线型图形应该是圆。
在高中数学文化知识里，大家还记得刘徽的割圆术吗？刘徽是我国魏晋时期的数学家，他在《九章算术·圆田术注》中用割圆术证明了圆的面积公式，并给出计算圆周率的科学方法，这在当时全世界都是非常领先的。回顾一下刘徽的做法，这是一个圆，他在圆内做了一个内接六边形，此时把内接六边形的周长近似当作圆的周长，当然这时差距比较大。接着刘徽进行割圆，就是把六边形的六段弧再等分，这样六边形就变成十二边形。这时大家会发现，十二边形的周长和圆的周长相比六边形更接近了。再继续分割，把十二边形分割成二十四边形，这时多边形的边界（红色部分）和圆的曲线（蓝色部分）几乎很接近了。当时刘徽不停地分割下去，一直分割到3000多，从而计算出圆周率。后来祖冲之在刘徽基础上，进一步把圆周率精确到小数点后七位。刘徽原文说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
这说明了什么道理呢？通过把圆分割得到正(n)边形，当(n)越大时，就可以用正多边形的周长近似贴合圆的周长。正多边形周长是直线型问题，能用数学方法计算，(n)越大，计算出的多边形周长就越近似圆的周长，从而完成圆周率的计算。
大家思考一个问题，刘徽做的是内接多边形，如果做圆的外切多边形，是否也有这样的效果呢？不难想象，做外切多边形时，随着多边形边数增大，最后得到的多边形周长同样会无限接近于圆的周长。刘徽的割圆术体现了“以直代曲，无限逼近”的道理。不仅数学中，生活里也有很多这样的例子，比如广场圆形区域的地砖，还有用砖头垒起来的小花坛，我们并没有专门设计曲线型地砖，而是用直线形图形“以直代曲”。
刘徽割圆术这种“以直代曲，无限逼近”的研究方法，对我们今天求曲边梯形面积有什么启发呢？能不能在这个图形中进行相应分割，实现“以直代曲”呢？观察图形发现，刘徽的重要思想是分割后“以直代曲”，因为分割后，在足够小的尺度下，圆周近似可以看作是直的，就像广场地砖，在足够小尺度下，尽管地砖是直的，但对于足够大的圆，曲线近似是直的。也就是说，可以通过分割图形，在足够小尺度下实现“以直代曲”。
这里有个问题，同学们想一想，这个图形怎么分割比较好？比如可以做(x)轴平行线，也可以做(y)轴平行线，或者其他方式。关注(x)轴和(y)轴的平行线，它们都能把图形分成若干条。大家觉得怎样分更方便呢？实际上做(y)轴平行线更好，因为这样能保持和曲边梯形中(x = a)，(x = b)这两条线平行的关系。接下来看看具体怎么操作。
做(y)轴平行线，将曲边梯形分成若干竖着的小曲边梯形。把区间([0, 1])分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”。大家看，现在分割的小曲边梯形数量还不够多，当分割足够多，梯形宽度足够小时，就可以近似把它看成矩形。这时对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，把这些近似值求和就能得到整个曲边梯形面积的近似值。也就是通过分割，研究每个小图形，和刘徽割圆术类似，拆分越细，近似程度越好，整体思路是用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
具体怎么操作计算呢？首先是分割，最容易计算的方式是等分。在区间([0, 1])上等间隔插入(n - 1)个点，将它等分成(n)个小区间：([0, \frac{1}{n}])，([\frac{1}{n}, \frac{2}{n}])，……，([\frac{n - 1}{n}, 1])，其中第(i)个区间是([\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}])，每个区间长度是(\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n} = \frac{1}{n})，当然因为是等分，也等于(\frac{1 - 0}{n})。接着分别过上述(n - 1)个分点做(x)轴的垂线，把曲边梯形分成(n)个小曲边梯形，它们的面积记作(\Delta S_{1})，(\Delta S_{2})，……，(\Delta S_{n})。显然，整个曲边梯形的面积(S)就是这(n)个小曲边梯形面积之和，即(S = \sum_{i = 1}^{n} \Delta S_{i} = \Delta S_{1} + \Delta S_{2} + \cdots + \Delta S_{n})。
这样问题就转化成求每个局部小曲边梯形的面积，然后求和。接下来研究每个小曲边梯形的面积怎么处理，如果不处理，还是原来的问题。这时就要运用“以直代曲”的数学思想。将原来函数记作(f(x))，(f(x) = x^{2})。当(n)很大，即(\Delta x)很小时，每个区间([\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}])长度很小，函数值变化也非常小，不受图形影响，想象一下，当(\Delta x)非常小，小曲边梯形左右两边对应函数值（类似梯形上下底）变化很小，可近似认为是一个常数。所以在([\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}])上，可以用小矩形面积近似替代小曲边梯形面积。