师：各位同学大家好，今天这节课我们要学习高中数学人教版选修2 - 2第一章第四节生活中的优化问题举例第二课时。前一节课，我们学习了海报版面尺寸的设计、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响等问题。同学们，这些问题的共同点是什么呢？
生：这些问题的共同点都是生活中的优化问题。
师：非常正确。那我们是如何解决这些生活中的优化问题呢？上节课我们学习了，对于生活中的优化问题，可以按如下步骤解决。首先建立函数模型，把实际问题转化成数学问题，用函数表达出来。接下来解决数学模型，我们解决数学模型用的工具是导数，通过导数研究函数的最大值、最小值。最后通过导数计算，对实际问题进行作答，得到实际问题的优化解。今天我们继续研究一些生活中的优化问题。
首先来看磁盘的最大存储问题。大家知道计算机是如何存储检索信息的吗？知道磁盘的结构吗？如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？为了研究这个问题，先给大家介绍一些背景知识。计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区。这里的磁道，如图中黑色圆圈所示，是不同半径所构成的同心圆轨道。扇区是指被圆心角分割所成的扇形区域。磁道上定长的弧可作为基本存储单元，一般最外面的磁道不储存任何信息，根据其磁化与否，可以记录0或1，这个基本单元通常被称为比特。
介绍完磁盘的背景知识，我们一起来看看如何研究磁盘存储最大化的问题。为了保障磁盘的分辨率，还有一些具体要求：第一，磁道之间的宽度必须大于给定数值m；同时，每一个比特所占用的磁道长度不小于给定数值n。为了检索便利，磁盘格式化时要求每一圈磁道具有相同的比特数。
现在有一个半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r到R之间的环形区域。问题来了，第一，是不是r越小磁盘的储存量就越大呢？第二，r为多少的时候磁盘具有最大的储存量？注意，最外面的磁道不储存任何信息。解决这个问题之前，我们先分析一下。从感性认识上，大家可能觉得磁道越多越好，也就是r足够小可能更好。但题目规定所有磁道具有相同的比特数，这就带来新问题，如果r小了，尽管磁道多，但里面这一圈储存的信息可能比较少，因为磁盘每一个磁道所储存的信息量是由最小的那个圈决定的。
从感性上看，是不是r越小磁盘的储存量越大呢？可能有的同学有疑问，到底怎样，我们还是用数学式子说话。一起来分析如何建立数学模型，得到相应的最值。对于存储量，它等于磁道数乘以每磁道的比特数。根据限制条件，磁道和磁道之间要大于给定数值m，且最外侧磁道不储存信息，每一个存储单元所占用的弧长不小于n。由此可知，在这个存储区半径下，磁道数最多为((R - r)÷m)。因为每个磁道的比特数相同，所以每个磁道的存储量由最小半径的那个磁道圈决定。为了获得最大存储量，最内一圈的磁道必须装满，即每条磁道上的比特数为(2\pi r÷n)。
这里解释一下，从实际意义来说，磁道数和比特数应当是整数。但看这两个式子((R - r)÷m)和(2\pi r÷n)，它们可能不是整数。不过，为了研究问题方便，在一些实际情况下适当简化问题。因为常识可知，一张磁盘的磁道数和每磁道存储的比特数都是非常大的数字，若这两个值不是整数，小数点后的部分影响非常小，所以忽略它，列解析式时仍按非整数情况列。因此，磁盘的总存储量(F(r) = (R - r)÷m×2\pi r÷n)，化简整理可得(F(r)=\frac{2\pi}{mn}×(Rr - r2))。
同学们判断一下，这个函数是以r为自变量的函数，它是怎样类型的函数呢？
生：这是我们熟悉的二次函数，而且图像开口向下。
师：非常好。既然是熟悉的函数，我们就能回答第一小问了。它是关于r的二次函数，可以判断不是r越小磁盘的存储量越大。因为这个二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，从单调性和图像大致判断，它会经历先增再减的过程，所以不是r越小磁盘储存量越大。
接下来回答第二个问题，r满足怎样的条件时储存量最大呢？这时可以运用导数这个工具，导数研究函数单调性和最值非常便捷。对函数求导，令导函数(F^\prime(r)=0)，即(\frac{2\pi}{mn}×(R - 2r)=0)，不难解得(r = \frac{R}{2})。再判断导函数的符号，当(r < \frac{R}{2})时，(F^\prime(r)>0)；当(r > \frac{R}{2})时，(F^\prime(r)<0)。也就是说，函数在(r < \frac{R}{2})时递增，在(r > \frac{R}{2})时递减。因此，当(r = \frac{R}{2})时，磁盘具有最大存储量，经过计算最大存储量为(\frac{\pi R2}{2mn})。
大家看，通过建立具体函数模型，然后求导得到最值的办法，准确回答了我们原来的估计，为了达到最大值，r处在(\frac{R}{2})的位置。同学们思考一下，这道题还有没有其他方法求最大值呢？这里给大家提示，处理最值不光有导数的办法，这道题是熟悉的二次函数，用以前学过的知识，还有什么方法可以解决这个问题呢？
生：可以给二次函数配方得到对称轴，研究它的最大值。还可以利用必修5所学的基本不等式知识解决这个函数的最值。
师：非常好。刚才我们的问题对整个存储方式做了限制，最重要的是规定每一圈磁道存储量一样。如果每一条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，即内圈存储的少，外圈存储的多，这个时候是不是r越小磁盘的存储量越大呢？这个时候如何计算磁盘的存储量？此时磁盘的总存储量和所有磁道的总周长有关，大家觉得这时是不是r越小存储量越大呢？具体如何，留给大家课后思考。不能仅凭感性认识，还是要建立函数模型，通过计算得出优化问题的答案。
通过今天这个问题的分析和求解，优化问题的步骤和上节课一样，关键点首先要读懂题目意思，建立数学模型，用函数表示数学问题，把实际问题转化为数学语言，这很重要。接下来运用导数解决数学问题，通过导函数为0得到单调性的分界点，从而得到最值，最终根据导数计算的最值得到优化问题的答案。
下面看几道题练习巩固今天所学知识。第一个问题，某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天定价为180元时，房间会住满。房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天需花费20元的各种维修费。现在问房间定价为多少时，宾馆利润最大？首先从感性上分析，房价定在180元时宾馆住满，为获最大利润，宾馆想提高房价，但提高房价会使入住率下降。感觉要找到平衡点，适当提高房价，让入住人数减少得不多，从而实现利润最大值。但仅从感性无法得到准确的房价定价，具体来看如何列式。
设把定价定为(180 + 10x)元时，宾馆利润最大。在实际应用类函数问题中，定义域很重要，从实际意义出发，这里的(x)属于自然数集。根据题目意思，利润作为关于(x)的函数，式子应为((180 + 10x)×(50 - x) - (50 - x)×20)。化简变形可得这是一个二次函数，解析式为(-10x2 + 340x + 8000)。此时求导，令导函数为0，导函数为(-20x + 340)，令其为0，可求得(x = 17)。再判断导函数符号，当(x < 17)时，(w^\prime(x)>0)；当(x > 17)时，(w^\prime(x)<0)。也就是说函数先增后减。所以通过导数计算结果可知，当(x = 17)时利润最大，此时房价为(180 + 10×17 = 350)元。
这是宾馆入住房间定价使利润最大化的问题，我们有感性认识，但最后要落实到实际函数列式计算。接下来看第二个常见问题，一个圆柱形金属饮料罐，若容积一定，它的底面半径和高取怎样的数值时用料最省？用料最省，用数学语言表达就是使圆柱体的表面积最小。
我们设圆柱的高为(h)，底面半径为(r)，从实际问题出发，(r > 0)。因为题目中体积(V)是一定的，把它当作常数处理。由(V = \pi r2h)，可得(h = \frac{V}{\pi r2})。用料最省就是表面积最小，所以要建立函数模型表示出几何体的表面积。表面积(S(r)=2\pi rh + 2\pi r2)，将(h = \frac{V}{\pi r2})代入可得(S(r)=\frac{2V}{r} + 2\pi r2)。接下来对这个函数求导，研究它的单调性和最值。
求导(S^\prime(r)=-\frac{2V}{r2} + 4\pi r)，令(S^\prime(r)=0)，可解得(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})。不难判断，当(0 < r < \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})时，导函数值小于0；当(r > \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})时，导函数值大于0。也就是说整个函数先减后增。因此，当(r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}})时，表面积(S(r))最小。此时，由(h = \frac{V}{\pi r2})，把取最值时的(r)代入，化简可得(h = 2r)，即当高是底面半径两倍时，表面积最小，用料最省。
通过今天的例题，小结一下实际应用问题。实际应用问题的表现形式常不是纯数学模型，这就需要我们首先通过审题认识问题背景，抽象出问题实质。其次建立相应数学模型，将应用模型转化为数学问题再求解。求解时可利用导数工具，导数求解优化问题的基本步骤是：第一，认真分析问题中各变量关系，正确设定最值变量(y)与自变量(x)的关系，把实际问题转化为数学问题，列出适当函数关系式(y = f(x))，并根据实际问题确定定义区间；第二，求导函数(f^\prime(x))，解方程(f^\prime(x)=0)，得到所有实数根；然后比较各个根和端点处函数值大小，研究单调性，根据问题实际意义确定函数最大值或最小值。具体思路就是建立数学模型，用函数表达数学模型，用导数解决数学模型，最后作答得到优化问题的答案，上述解决优化问题的过程也是典型的数学建模过程。
今天的作业是课本37面习题1.4 B组第二题和课本66面复习参考题A组第11、12、13题。好，同学们，今天的课就上到这里，同学们再见。