师：同学们大家好，今天我们一起来学习必修2第七章极限的第一节——追寻守恒量：能量。
首先，我们来看一个生活场景。寒假期间，邻居的两个小孩被妈妈领进一个小房间，妈妈交给他们一盒完整的军旗，让他们下棋，随后妈妈关上房门去忙其他事。半个小时后，妈妈打开房门，发现棋子散了一地。于是，她带领两个孩子一起收拾棋子，把棋子在盒子里摆放整齐后，发现少了6颗。他们一起寻找，在门后找到一颗，墙角找到一颗，杯子里找到一颗，还有3颗没找到，但他们继续找，最后在地毯下又找到两颗。那最后一颗棋子在哪呢？妈妈发现窗户开着，探出头一看，草地上还有一颗。
现在我问问同学们，支撑妈妈一直要把棋子找齐的原因或信念是什么？应该是棋子的个数是不变的，是守恒的。把这个习以为常的结论放在这里，是不是显得很突兀？其实，这中间包含的就是一种非常朴素的守恒理论。
下面我们再来看一个高一必修一学过的例子。大家看，一开口朝下且开口较小的水龙头会形成一条连续的水柱，水沿竖直方向向下流淌，仔细观察会发现水柱的直径不断减小。现测得水在出口处的速度大小为1米每秒，出口处水柱的直径为1厘米，出水口离接水盆距离为75厘米。求水流在落至接水盆前瞬间的直径大小。根据同学们已掌握的知识，请大家解决这个问题，同时思考一下，解题依据是什么？
同学们，这里要注意，因为水龙头开口较小，形成连续水柱，水竖直向下流动，速度会越来越大，所以看到的水流就会越来越细。那么，水流离开水龙头后，它的运动应该是一个什么样的运动形式呢？水流离开水龙头后只受重力作用，在重力作用下向下运动，应该是竖直下抛运动。我们根据竖直下抛运动的相关知识，就可以求出离水龙头h高处落到盘面前它的速度。然后依据在相等时间内，水流过某一个界面的水量应该是均衡的，就可以求出水流在落至接水盆前瞬间的直径大小。
解答如下：设水柱落至水盆处的速度为v，根据水流在空中做竖直下抛运动，依据方程$V_T^2 - V_0^2 = 2gh$，可得$v = \sqrt{V_0^2 + 2gh}$。假设在$\Delta t$时间内，通过上下截面处的水的体积$\Delta V$，则$\Delta V = V_0 \times \frac{1}{4} \pi d_0^2 \Delta t = v \times \frac{1}{4} \pi d^2 \Delta t$，由此可得$d = 0.5$厘米。这个解答过程中有一个非常朴素的守恒量，即通过水流任意界面，在相等时间内通过的体积是相等的，这很好地体现了连续流体质量守恒或者体积守恒。
这两个例子，一个体现了数量的守恒，一个体现了体积或质量的守恒。下面我们来看一个号称“勇敢者的游戏”。实验者站在实验台上，让摆球从靠近鼻子处无初速释放。当球回摆回来时，实验者勇敢地站着不动，没有躲闪。这是基于摆动过程中的某一个守恒量，摆球从鼻子处静止释放，当摆回来时又能回到鼻子处，既不超越鼻子使人受伤。这个摆球似乎具有记忆功能，记住了它的初始位置。摆球从a释放摆到b，又从b回摆到a。视频中的摆球在摆动过程中好像能记住释放时的高度而不撞到勇敢者。
这个情景我们应该很熟悉，我们回想一下，高一物理课上讲到的理想斜面实验。当小球从斜面a处无初速释放后，它会沿着斜面下滚，然后滚上另一个光滑的斜面。如果不计斜面的摩擦，它能回到与a斜面等高处。那么，小球为什么能记住原来的高度呢？从a位置到b位置，这是一个初状态和末状态的过程，这只是整个运动过程中的一个初始状态。这说明在a与b的摆动过程中，是不是有某种守恒的量在支配着小球的运动，从而使小球从外观上看似乎能记得原来的高度？
接着我们提出第二个问题，小球在运动过程中是否存在着守恒量？从整个摆动过程中，我们感觉到小球在下摆过程中似乎有某个守恒量。那自然而然我们就要想，这个守恒量可能是什么呢？小球在运动过程中，什么量可能是守恒的，或者说什么量可能是守恒量？同学们可以通过小球在摆动过程中的外观表现，比如小球在a斜面上滚动时，高度不断减小，速度不断增加；在向b斜面上滚动时，高度不断升高，速度却不断减小。根据这种外观表现，同学们能不能猜一猜这个守恒量可能是什么形式呢？最直观的猜想，可能是距离水平面（地面）的高度h和小球的速度之和是不是恒定的呢？同学们可以根据高一所学知识算一算，比如说假想斜面倾角是$\alpha$，在下滑过程中，算一算不同高度时它的速度，然后用速度跟高度之和验证一下其速度和高度之和是不是相等的。当然，也可能是其他形式，比如可能是速度的平方跟h，或者是具体的某一种乘一个系数。
下面，我们借助必修一所学的物理知识，来探讨一下这个守恒量可能是什么样子的。我们先简化模型，研究一个小球由静止开始沿光滑斜面向下运动时，小球不同位置的高度与速度的关系。假设初始位置的高度是$H_0$，下落至某一高度$H_1$，它们的速度分别为$V_0$和$v$。请同学们用初速度$V_0$和高度$h$表示小球从$H_0$处下滑到高度$H_1$处的末速度$v$。假设斜面倾角是$\alpha$，那么小球在沿光滑斜面下滑时，其加速度应该是$g\sin\alpha$。根据$v^2 - 0 = 2ax$（第一个式子，这里的$a$是指小球在斜面上下滑的加速度，$x$是指小球在斜面上下滑的位移），$x = \frac{H_0 - H_1}{\sin\alpha}$（第二个式子），加速度$a = g\sin\alpha$（第三个式子）。把第二式、第三式代入到第一式整理后，就可以得到$v^2 + 2gH_1 = 2gH_0$。
细心的同学会发现，$2gH_1$和$2gH_0$只是初末位置的高度$H_1$、$H_0$不一样，但形式是一样的。如果把右边的$2gH_0$由于小球初速度等于0，加上0，是不是就看出小球在沿斜面下滑的过程中，$v^2 + 2gH$是个恒量？即小球沿光滑斜面下滑时，$v^2 + 2gH$保持不变。这就是我们用所学知识找到的小球在下滑过程中的一种守恒量。如果结合初中所学的重力势能知识，我们只要在等式两边都乘以$\frac{1}{2}m$，就会得到物理中动能和势能的表达式。同理，我们也可以推导出小球沿b斜面上滑的过程中，其速度平方和$2gH_1$，也就是说，伽利略的理想斜面实验中，小球从a滚下，然后沿b斜面滑上去，这个过程中它的动能和势能是保持不变的，这就是我们遵循的一个守恒量。