师：同学们好，今天我们一起来学习本章第五节向心加速度。自行车是生活中重要的交通工具，它蕴含着丰富的圆周运动知识。把自行车倒过来，摇动脚踏板带动大齿轮，大齿轮带动小齿轮，小齿轮带动后轮做圆周运动。通过上节课学习，我们知道大齿轮边缘的a点和小齿轮边缘的b点具有相同线速度，b点和车轮上的c点具有相同角速度。如果车轮做匀速圆周运动，请问c点的运动状态发生变化吗？我们看到速度方向变了，运动状态发生变化，那就一定有加速度。所以今天我们要探究的问题是匀速圆周运动的加速度，该点加速度与哪些物理量有关呢？回想之前学的圆周运动参数，它会和线速度、角速度、半径有关吗？如果有关，是什么样的关系呢？如果要探究它们的关系，是不是要分别探究a与v、ω和r之间的关系呢？前面我们学过v = ω×r，这提醒我们，任意探究其中两个量与加速度的关系，就能得到第三个量与加速度的关系。因此，我们可以从中任选两个量进行探究。
我们可以探究a与ω、r的关系，a与v、r的关系，a与v、ω的关系。今天选择哪一种探究方案呢？基于老师准备的实验器材，我们选择思路一，探究加速度和角速度、半径三者间的关系。这三个量，我们首先要控制一个量不变。可以控制半径不变，探究a与角速度的关系；控制角速度不变，探究a与r的关系。在探究之前，我们要解决两个问题，一是如何创设匀速圆周运动的实验情境，二是怎么测出加速度、角速度和半径的大小。半径大小很容易测出，加速度和角速度如何测量呢？老师设计了以下实验器材，下面我们一起来看看它的结构。
这个实验器材总共分成六个部分。第一部分是一个电机，通电后可以做匀速圆周运动。第二部分是调速器，可以调节不同转速，从而改变角速度。第三部分是圆盘，我们在圆盘上每隔相等距离打上小孔，并标出孔与圆心的距离，这样就测出了半径大小。那么加速度和角速度又该如何测量呢？我们看第五、六部分，同学们一定很熟悉，是的，这是我们常用的手机。我们可以在手机上下载一个物理实验专用APP，通过APP调动手机内部传感器，达到测量相关物理量的目的。它可以充当磁力计、陀螺仪，今天我们用它来测量加速度和角速度。这是一个支架，支架底部可以插在圆盘上，支架上方起到固定手机的作用。当手机随圆盘一起做圆周运动时就能保持稳定，这时利用手机软件可以记录每个瞬间加速度和角速度的大小，并通过图像呈现出与时间变化的规律。接下来我们首先用它探究半径不变的情况下加速度与角速度的关系。首先打开实验软件，然后将手机放入支架，选择0.15米半径并一直保持不变。打开控制器开关，把转速从0缓慢调至第一档位，让手机匀速转动一会儿。接着将转速调至第二档位，再让手机匀速转动一会儿，再次调整档位。
师：继续增加角速度，我们发现它转速越来越大，角速度也越来越大。
师：将转速调至零，实验结束。旁边这幅图正是手机记录加速度和角速度的画面。我们调出手机中的数据，同学们可以看到这幅图是手机记录加速度与角速度随时间变化的图像，这里纵坐标表示加速度，横坐标表示时间。下方这幅图纵坐标表示角速度，横坐标表示时间。
师：我们观察一下图像，两幅图上面都有一段平行于时间轴的直线，从ω - t图上可以看出，这一段直线正好表示它以对应的角速度在做匀速圆周运动。与其对应的时间段，上方图像加速度大小也趋于不变。那么它们之间有怎样的关系呢？我们还可以从手机中导出数据，对它进行进一步研究。为了能形象直观地看出规律，我们也可以以加速度a作为纵坐标，以角速度ω作为横坐标，建立直角坐标系来描点作图。这是我们做出的图像，图像是一条曲线，但很难直观发现规律，不过看起来像是一条过坐标原点的抛物线。真的是这样吗？如果是这样，加速度就应该与角速度的平方成正比，图像是一条过坐标原点的直线。我们可以把这里的角速度平方一下，以角速度的平方作为横坐标，纵轴仍然是加速度。这时我们发现图像是一条过坐标原点的直线，和我们的猜想一致。由此我们可以得到在半径不变时，加速度a和角速度的平方成正比。那么如果我们控制角速度不变，a与半径r之间又有什么样的关系呢？接下来我们继续进行实验探究。打开手机软件，先选择半径为0.05米进行实验，调至一个适当转速并保持不变，打开开关，让其匀速转动一会儿，关闭开关。再将半径调至0.10米，保持转速不变，打开开关，让其再匀速转动一会儿。
师：再将半径调至0.15米，保持转速不变，打开开关，让其匀速转动一会儿。接着将半径调至0.20米，重复实验。
师：最后我们将半径调至0.25米，打开开关让其转动，将转速调至0，实验结束。这是手机记录的实验图像。我们在ω - t图的上方发现了一条明显的直线，这条直线说明它始终保持着以相同的角速度转动。中间起伏是因为我们在开关闭合和打开过程中，电机加速和减速使角速度发生了变化。上方a - t图平行于坐标轴这一段直线，正是说明角速度相同时不同半径前提下加速度的大小。
师：细心的同学发现加速度图像上有一些微小起伏，这是由于什么原因呢？这是因为器材本身和实验过程中微小震动等因素引起的。接着我们从手机中导出数据，分析它的规律。我们仍然以加速度作为纵轴，以半径作为横轴，描点作图，得到了这样一幅图像。这里的阴影部分是因为我们带入了同一半径多个加速度数据所引起的，也对应了前面a - t图像中微小的起伏。作图时取其中点进行拟合，可以有效地减小误差。
师：在误差允许的范围内，我们可以认为角速度不变时，加速度a正比于半径。通过以上探究，我们得到控制r不变的时候，加速度与角速度的平方成正比；控制角速度不变时，加速度与半径成正比。我们将两个表达式合到一起，a正比于ω2×r，这是我们通过实验探究得到的结果。
师：那么我们接下来能不能从理论的角度对其加以验证呢？如果从理论上来探究手机做匀速圆周运动的加速度，我们知道加速度a = Δv / Δt，但这里的Δt是一段时间，在这里我们不妨选择一段特殊的时间1/4周期，这样时间t的问题解决了。
师：Δv = v? - v? ，a点速度为v?，b点速度为v? ，做匀速圆周运动，它们速度大小相等。通过前面学习，我们知道这里的速度变化，我们可以把v?平移，那么从v?的箭头指向v?的箭头，就应该是这一过程中速度的变化量Δv。这里是一个等腰直角三角形，所以我们可以算出Δv应该等于√2倍的v。时间t，我们可以用AB的弧长比上这一过程的线速度v，1/4圆周弧长是2/4πr比上v，这是Δt。把它们代入加速度表达式，我们得到a = 2√2v2 / πr 。保留两位小数，得到的是0.90倍的v2 / r，那么这里我们算出来的是什么加速度呢？对，它是平均加速度，那么匀速圆周运动中不同时间段的平均加速度都相等吗？下面我们不妨再取一个时间段来看一看，我们来取一个1/6周期，角度∠AOB应该是60度角，那么所对应的v?和v?的夹角应该也是60度角。这样，v?、v?、Δv构建起了一个等边三角形，因此Δv = v? = v? = v。时间t，我们仍然用弧长比上线速度，这是1/6圆周弧长是2/6πr代入表达式，我们得到这里的加速度是0.96倍的v2 / r 。我们再用同样的方法算出1/12周期时加速度的大小，我们可以得到这里的加速度a = 0.99倍的v2 / r 。对比刚才探究得到的这三组数据，我们发现不同时间段匀速圆周运动的平均加速度是不同的。