师：同学们好，很高兴能和大家一起学习物理。同学们在前几节课已经学习了万有引力与航天这一章的新课，今天这节课我们来讲几个例题。例题包含三个方面：一是卫星的运行，二是卫星的变轨，三是万有引力和重力的关系。
首先回顾卫星的运行。同学们，卫星做匀速圆周运动时，是万有引力提供向心力。若卫星轨道半径确定，就能算出它的线速度、角速度、周期和向心加速度。分析这四个式子会发现，轨道半径增大，线速度、角速度和向心加速度减小，周期(T)变大，即越高轨道的卫星运行越慢。
这里还需知道两颗特殊卫星的特点。第一颗是近地卫星，其轨道半径等于地球半径，线速度(v = 7.9)千米每秒，也就是第一宇宙速度，通过前面式子可算出其周期约为(1.4)小时。第二颗是同步卫星，它定点在赤道上空，与地球自转同步，所以周期是一天，轨道半径约是地球半径的(6.6)倍。
好，接下来看例一。如何求一颗行星的密度呢？密度等于质量除以体积，所以要先求质量。有一种方法是知道围绕它做匀速圆周运动的卫星的周期及轨道半径。设卫星轨道半径为(r)，根据牛顿第三定律(G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)，这样就能算出这颗行星的质量(M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}})。密度(\rho = \frac{M}{V})，球体体积(V = \frac{4}{3}\pi R^{3})（这里(R)是行星半径），代入计算可得(\rho = \frac{3\pi r^{3}}{GT^{2}R^{3}})。
同学们注意，一般情况下(r)（卫星轨道半径）和(R)（行星半径）不相等，但题目中有“表面附近”这个关键词，所以可认为这颗卫星是近地卫星，即(r = R)。代入计算可得(\rho = \frac{3\pi}{GT^{2}})。
同学们，这是个很有意思的结果。设想你在宇宙飞船中围绕一颗行星做匀速圆周运动，只给你一种测量工具，让你计算这颗行星的密度，你该选什么测量工具，怎么做呢？相信大家心里已有答案，应该选择秒表，让宇宙飞船围绕这颗行星表面做匀速圆周运动，记录周期就能算出这颗行星的平均密度。
好，接下来看例二。这里出现两种卫星，第一种是北斗同步导航卫星，周期是(24)小时；另一种是(GPS)导航卫星，周期是(12)小时。两颗卫星周期不同，说明轨道半径不同。前面学过，轨道半径越大，周期越大，所以北斗卫星轨道半径更大，(GPS)卫星处在较低位置。那两颗卫星哪个线速度大呢？(GPS)卫星轨道半径更小，所以线速度更大。
这里的分析给我们一个思路：知道周期大小可算出轨道半径大小，知道轨道半径大小就能算出线速度大小。接下来具体运算。根据牛顿第二定律(G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)，可算出(r = \sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}})。
知道轨道半径和周期，计算线速度可用圆周运动公式(v = \frac{2\pi r}{T})，把(r)代入可得(v = \sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{T}})。由此可算出(v_1)与(v_2)的比值(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt[3]{\frac{T_2}{T_1}})，代入周期计算，最终结果(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}})。
好，这个问题解决了。接下来学习第二部分内容——卫星的变轨。大家知道同步卫星轨道半径约是地球半径(6.6)倍的圆轨道卫星，怎么把它从地面送到同步轨道呢？卫星从地面沿水平方向发射，速度要达到(7.9)千米每秒才能发射成功成为近地卫星。若发射速度大于(7.9)千米每秒，轨道会是椭圆，甚至脱离地球引力束缚，所以直接从地面发射同步卫星很困难。
这里有个构想：先将卫星发射成近地卫星，在小圆轨道运动，然后在轨道上一点(P)改变速度，它将脱离小圆轨道进入椭圆轨道，在椭圆轨道的(Q)点再次改变速度，就能进入大圆轨道运行。请问，卫星从小圆轨道变轨到椭圆轨道，经过(P)点前后瞬间，要加速还是减速呢？分析一下，卫星在小圆轨道经过(P)点时，根据牛顿第二定律(G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v_{P}^{2}}{r})，此时卫星做匀速圆周运动，提供的向心力（万有引力）等于需要的向心力。而在(P)点变轨到椭圆轨道做离心运动，此时提供的向心力要小于需要的向心力，所以在(P)点速度要增大，增大后才会做离心运动。那卫星从椭圆轨道变轨到大圆轨道，经过(Q)点前后瞬间要加速还是减速呢？当卫星到达(Q)点，若沿椭圆轨道运动是向心运动，即(Q)点提供的向心力大于必要的向心力。为使它在大圆轨道做匀速圆周运动，向心力供需应平衡，所以在(Q)点也必须加速。
接下来看例(3)。第一个问题，卫星在轨道(1)上的速率(v_1)和在轨道(2)上(P)点的速率(v_{P})哪个大呢？在(P)点需加速才能到达轨道(2)，所以(v_1 < v_{P})。那卫星在轨道(2)上(Q)点的速率和在轨道(3)上的速率哪个大呢？同样，根据前面分析，(v_Q < v_3)。
再看第二问，卫星在轨道(3)上的速率(v_3)和在轨道(1)上的速率(v_1)哪个大呢？卫星在这两个轨道都围绕地球做匀速圆周运动，遵循越高越慢规律，所以轨道(3)上的速率(v_3)小于轨道(1)上的速率(v_1)。这里大家可能发现一个奇怪问题，为什么经过两次加速到达大圆轨道，线速度反而变小了呢？同学们注意，卫星两次加速是在经过(P)、(Q)前后瞬间完成的，从小圆轨道到大圆轨道中间，卫星还要从(P)点运动到(Q)点，这个过程速度如何变化呢？分析其运动和受力情况，假如卫星运动到图示位置，线速度沿切线方向，所受万有引力一直指向地球球心，把力沿速度线和垂直于速度线分解，会发现总有一个分力与速度方向相反，所以这个过程会减速，即(v_{P} > v_Q)。整个过程卫星经过加速、减速、再加速。若速度减小量比两次速度增加量要大，最终速度就会比最初速度小。这部分具体证明学完机械能这一章才能完成，这里不多讲。用一句话描述刚才学习的物理过程及结果：加速瞬间会离心，过程会减速。通过这部分学习，也能把这四个速度排序，最大的速度是(v_{P})，(v_{P} > v_1)，(v_1 > v_3)，(v_3 > v_Q)。
再看第三问。卫星在轨道(2)上经过(Q)点的加速度(a_Q)和在轨道(3)上经过(Q)点的加速度(a_3)哪个大呢？思考如何计算卫星在(Q)点的加速度，有同学认为可根据运动学公式(a = \frac{v^{2}}{r})计算，因卫星在轨道(3)上经过(Q)点速度更大，所以认为轨道(3)上加速度更大，这样对吗？同学们想，这个结果基于(r)一样的前提，在这个公式中(r)是做圆周运动的轨道半径。若卫星在轨道(3)上，运动轨道半径就是到地球球心的距离，但轨道(2)是椭圆轨道，不是圆轨道，这个公式能用吗？想用(a = \frac{v^{2}}{r})计算加速度，得找(Q)点的曲率半径，这是上一章学过但不熟悉的概念，课本也没提供计算方法，所以用这个公式比较加速度不好办。怎么办呢？换个思路，从受力方面计算。根据牛顿第二运动定律(G\frac{Mm}{r^{2}} = ma)，可得(a = \frac{GM}{r^{2}})。因为使用万有引力定律，定律里的(r)是两星体之间的距离，不是轨道半径，不存在之前的问题。卫星两次都经过(Q)点，到地球球心距离相等，所以这两个加速度相等。这个问题就分析到这里。
接下来学习第三个方面——万有引力和重力的关系。牛顿告诉我们，万有引力和重力本质上是一个力，但可以更细致研究。
同学们看，有个物体，想知道它重力多大，最简单方法是用测力计测量，实际上测力计测的是弹力。物体静止时，弹力和重力等大反向，根据二力平衡可求出重力，这就是找重力大小和方向的方法。同学们，如果把视角拉到地球以外观察，会有变化。
看地面上静止物体，它围绕地轴转动，绕地轴做匀速圆周运动所需向心力从哪来呢？分析其受力，它受地球引力指向地球球心，还受地面支持力。支持力会不会沿引力反方向且与引力等大反向呢？因为物体绕地球做匀速圆周运动需要向心力，所以实际支持力不沿引力反方向，有一定偏向，引力和支持力的合力指向物体转动圆心，这样才能提供向心力。
那重力在哪呢？回到地面看，站在地面上的人认为物体静止，所以重力沿支持力反方向且与支持力等大。所以重力和引力有区别，它们是什么关系呢？向心力、重力和引力遵守平行四边形定则，所以引力是重力和向心力的矢量和，即重力和物体随地球自转的向心力是万有引力的两个分力。利用这个规律可解释为什么纬度越高，重力加速度越大。
假设物体在北半球某位置，已做出引力、重力和向心力。若把物体放到更高纬度，这三个力怎么变呢？把这三个力放在三角形里研究。物体移到更高纬度，因到地球球心距离不变，引力大小不变。可做辅助圆观察向心力变化，物体绕地球旋转周期不变，轨道半径减小，所以所需向心力减小。根据三角形定则找到现在的重力，可观察到重力增大，数值接近万有引力，方向与万有引力偏差减小。若物体放在北极，即纬度最高处，所需向心力为(0)，重力就等于万有引力，所以纬度越高，物体重力越大，重力加速度也就越大。
同学们再看例(4)，先找问题背景，为什么赤道上重力加速度和两极处不一样呢？原因是物体在赤道上围绕地球做匀速圆周运动需要向心力，所以赤道上重力加速度比两极处小。这就用到之前学的知识。当物体放在赤道上，做出它受到的引力、重力和所需向心力，发现它们在一条直线上，之前的矢量关系变成数值关系，即数值上引力等于向心力加上重力。这里(r)是物体做匀速圆周运动的轨道半径，等于地球半径，周期(T)是物体周期，等于地球自转周期(24)小时。若物体放在两极，重力和万有引力相等。联立这两个式子会发现，赤道上的向心力和重力之和等于两极处的重力。移项，消去质量(m)，可算出(r = \frac{(g_0 - g_T)T^{2}}{4\pi^{2}})。
这个问题讲到这里，接下来讨论万有引力和重力关系的另一个层面。物体在地面上围绕地球自转所需向心力大吗？可以算一算，质量为(1)千克的物体随地球自转所需向心力最大是多少。前面学过，物体放在赤道上所需向心力最大，轨道半径等于地球半径，约(6.4×10^{6})米，周期是(24)小时。知道周期和轨道半径，选择(F_{向} = m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)计算向心力，代入数值最终结果只有(0.03)牛顿。也就是说向心力远远小于重力，所以还是可近似认为引力和重力相等。利用这个结论可解释为什么高度越高，重力加速度越小。
看物体放在地表，根据(G\frac{Mm}{r^{2}} = mg)；物体放在高为(h)的地方，式子变为(G\frac{Mm}{(r + h)^{2}} = mg')。做出它们的比值(\frac{g}{g'} = \frac{(r + h)^{2}}{r^{2}})，会发现(h)增大时，(g')减小，所以高度越高，重力加速度越小。
好的同学们，这部分学习告诉我们，卫星和地面物体虽都做匀速圆周运动，但遵循的动力关系不同。对于卫星，引力等于向心力；对于地面物体，引力等于向心力和重力的矢量和。实际做题时要区别，这是重要考点。
接下来看例(5)，(a)、(b)、(c)、(d)四个选项让我们计算(a_1)与(a_2)的比值以及(v_1)与(v_2)的比值。分析一下，(a_1)是同步卫星的向心加速度，计算这个加速度同学们应该能想到两种方法。第一种根据(G\frac{Mm}{r^{2}} = ma)，可得(a_1 = \frac{GM}{r^{2}})；第二种直接利用运动公式(a_1 = \frac{v_1^{2}}{r} = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)。那(a_2)是什么呢？(a_2)是赤道上物体随地球自转的向心加速度。能不能用这个公式计算(a_2)呢？因为赤道上物体所受万有引力远大于其向心力，所以这个式子不成立，(b)选项错误。怎么办呢？这里可根据运动学公式计算，(a_2 = \frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r)，很巧的是它们周期相等，都是(24)小时，所以(\frac{a_1}{a_2} = \frac{r_1}{r_2})，即(a)选项正确。接下来计算(v_1)与(v_2)的比，(v_1)是同步卫星的线速度，(v_2)是第一宇宙速度，也就是近地卫星的线速度。计算两颗卫星线速度比值，可直接用(v = \sqrt{\frac{GM}{r}})这个公式，所以(\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}})，最终结果应选(a)、(d)选项。这个题目就结束了。
好了，同学们，我们来总结一下这节课的主要内容。这节课主要学了三个方面：卫星的运行、卫星的变轨以及万有引力和重力的关系。我们主要研究了两个对象：天上的卫星和地面的物体。发现它们遵循不同的动力关系，但解决问题都要用牛顿第二定律。本节课就讲到这里，谢谢大家，同学们，再见。