师：同学们好，今天我们来学习生活中的圆周运动习题课。生活中的圆周运动根据运动轨迹不同，可分为：一、水平面类的圆周运动；二、竖直面类的圆周运动；三、斜面类的圆周运动。处理这些问题，核心就是选择研究对象进行受力分析，找到向心力的来源，并利用牛顿第二定律列方程求解，过程中要注意变量及变量取值范围。
首先，来看水平面内的圆周运动。例一，质量为(m)的物块（可视为质点）随动摩擦因数为(\mu)的水平转台一起做匀速圆周运动，已知物块距圆盘中心(O)的距离为(r)，求物块的向心加速度，以及要使物块相对转台保持静止，转台的最大角速度。
选择(m)为研究对象进行受力分析，物块受到竖直向下的重力和向上的支持力，静摩擦力指向圆心提供向心力。
由牛顿第二定律可知，静摩擦力提供物块随转盘转动所需的向心力。随着角速度增大，所需向心力增大，静摩擦力也增大。当静摩擦力达到最大静摩擦力(\mu mg)时，物块即将打滑，此时算出的角速度(\omega_0)即为所求。化简可得(\omega_0 = \sqrt{\frac{\mu g}{r}})。
通过分析得出物块相对转台打滑的临界角速度(\omega_0 = \sqrt{\frac{\mu g}{r}})。从这个式子可以看出，打滑的临界角速度仅与粗糙程度（动摩擦因数(\mu)）和旋转半径(r)有关，与质量(m)无关。如果(\mu)相同，半径越大，临界打滑角速度越小，物块越容易打滑。比如，把一把沙子撒到转台上，设沙粒和转台的动摩擦因数(\mu)均相同，随着转台(\omega)增大，虽然沙粒质量不同，但最外层沙粒会先打滑，然后依次往内出现打滑现象。
具体问题具体分析，请看变式一，已知(M_1)、(M_2)、(M_3)质量比是(1 : 2 : 3)，和转台的动摩擦因数比是(4 : 5 : 6)，距转台中心的距离(R_1)、(R_2)、(R_3)比是(1 : 1 : 2)。随着(\omega)增大，要求比较(a)、(b)、(c)三个物体的打滑顺序。
由前面分析可知，物体打滑的临界角速度(\omega_0 = \sqrt{\frac{\mu g}{r}})，正比于(\sqrt{\frac{\mu}{r}})，与质量(m)无关，所以质量这一项是干扰项，无需考虑。要比较(a)、(b)、(c)的打滑顺序，可比较它们打滑时的临界角速度关系。
于是得出(\omega_1 : \omega_2 : \omega_3 = \sqrt{\frac{\mu_1}{R_1}} : \sqrt{\frac{\mu_2}{R_2}} : \sqrt{\frac{\mu_3}{R_3}} = \sqrt{\frac{4}{1}} : \sqrt{\frac{5}{1}} : \sqrt{\frac{6}{2}})，化简后等于(\sqrt{4} : \sqrt{5} : \sqrt{3})。由此可知，最先打滑的是(c)，因为它的临界角速度最小，所以打滑顺序是(c)、(a)、(b)。
变式二，质量为(M)和(m)（(M > m)）的两物体，用一根长为(l)的轻绳连在一起，绳长(l)比转台半径(r)小。其中(M)位于转轴上，二者连线沿半径方向拉直，动摩擦因数均为(\mu)。要使两物体与圆盘不发生相对滑动，求圆盘旋转的角速度最大不超过多少。
一开始，(M)和(m)之间绳子张力为(0)，盘子给(m)的静摩擦力提供(m)所需向心力。随着角速度(\omega)增大，所需静摩擦力增大。当静摩擦力达到最大静摩擦力(\mu mg)时，绳子出现张力(T)，此时静摩擦力与绳子张力共同提供(m)做圆周运动所需向心力。而张力出现后，(M)要平衡就需受到盘子给它的静摩擦力，所以对(M)有(T)等于(M)所受静摩擦力。
(\omega)继续增大，绳子张力增大，(M)受到的静摩擦力增大。当(M)的静摩擦力达到最大静摩擦力(\mu Mg)时，二者会打滑。将此值代入式子可得(\mu mg + \mu Mg = m\omega_0^2l)，此时(\omega_0)就是本题要求的最大角速度，即(\omega_0 = \sqrt{\frac{\mu (M + m)g}{ml}})。
例2，长为(l)的轻绳一端固定，另一端拴一个质量为(m)的小球，使小球在某一水平面内做匀速圆周运动。分析小球的动力学参数。
选择小球为研究对象并受力分析，小球受到竖直向下的重力和沿绳方向的绳子拉力，二者合力提供指向圆心的向心力。
根据几何关系，在直角三角形中，重力是(\theta)的邻边，合力是(\theta)的对边，(FT)是斜边，所以合力( = mg \tan\theta)，绳子拉力( = \frac{mg}{\cos\theta})。
由匀速圆周运动特点，合力提供向心力，可写成(ma)或(ma_n)。向心加速度还可写成(m\omega^2r)、(m\frac{4\pi^2}{T^2}r)、(m\frac{v^2}{r})的形式。这里旋转半径(r = l \sin\theta)，由此化简可得：
(a = a_n = g \tan\theta)；
角速度(\omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos\theta}})，这里(l \cos\theta)是选点距轨道面的高度(h)，所以小球角速度仅与当地重力加速度和高度有关；
根据周期(T = \frac{2\pi}{\omega})，得出周期表达式(T = 2\pi\sqrt{\frac{h}{g}})，同样只与(g)和(h)有关；
线速度(v = \omega r)。
这种模型称为圆锥摆模型。生活中有很多类似圆锥摆模型的例子，比如有一个质量为(m)的小球，在光滑碗内某一平面做匀速圆周运动，它距碗心所对应平面的高度为(h)，这就是圆锥摆模型。对小球受力分析，小球受到竖直向下的重力和指向碗心的弹力，二者合力提供向心力，与前面的圆锥摆模型图一致。
常见的圆锥摆有等高圆锥摆和等长圆锥摆。图一是等高圆锥摆，比较两个小球的参数大小（加速度、角速度、周期和线速度）。需注意，因为两小球质量未知，所以无法比较所受合外力、绳子拉力和支持力大小。
在第一幅图中，(a = g \tan\theta)，因为(\alpha > \beta)，所以(A_1 > A_2)；(\omega = \sqrt{\frac{g}{h}})，高度相同，所以(\omega_1 = \omega_2)；周期(T = \frac{2\pi}{\omega})，与(\omega)成反比，所以(T_1 = T_2)；线速度(v = \omega r)，(\omega)相同，半径大的线速度大，所以(v_1 > v_2)。
再看等长圆锥摆，摆长就是碗的半径(r)，由于(1)的角度比(2)的角度大，所以(A_1 > A_2)；(1)的高度比(2)的高度小，所以(\omega_1 > \omega_2)；周期与角速度成反比，所以(T_1 < T_2)；线速度(v = \omega R)，(1)的(\omega)大于(2)的(\omega)，(1)的半径又大于(2)的半径，所以(v_1 > v_2)。
例3，顶角为(2\theta)的光滑圆锥筒倒置，质量为(m)的小球可在某一水平面内做匀速圆周运动。分析小球的动力学参数。