师：同学们，大家好。这节课我们来学习选修3 - 5第16章第二节动量和动量定理习题课。上节课给大家留了一道思考题：导出用动量p表示动能的公式，以及用动能E表示动量的公式。大家思考出来了吗？下面我们来看答案。
动能可以写成$\frac{1}{2}mv^{2}$，我们把分子和分母同时乘以质量m，得到$\frac{m^{2}v^{2}}{2m}$。再把分子中的$mv$用p来表示，就得到$\frac{p^{2}}{2m}$，这就是用动量p表示动能的公式。进一步变形可得$p = \sqrt{2mE}$，这就是用动能E表示动量的公式。
这两个公式反映了动量p和动能E在数值上的换算关系。但我们不仅要清楚它们数值上的换算，还要明白两者的区别。最大的区别在于，动量是矢量，方向与速度方向相同；而动能是标量，没有方向。第二个区别是，它们变化量的决定因素不同。动量变化看物体所受力的冲量，冲量越多，动量变化越大；动能变化看力对物体做的功，力对物体做的功越多，动能变化越大。这两种关系在物理上常合称为两大定理。
动量定理：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量，写成表达式就是$p' - p = I$。动能定理：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化，写成表达式就是$W = E' - E$。
这两个定理形式相似，但要注意，动量定理是矢量式，动量和冲量都是矢量；动能定理是标量式，功和动能都是标量。下面我们通过一道例题，看看利用动量定理和动能定理解决问题的区别。
例一，这也是书上问题与练习的第三题。一个质量$m = 10$千克的物体，以$v = 10$米每秒的速度做直线运动，受到一个反向的作用力F，经过4秒速度变为反向2米每秒，这个力是多大？这里有力在4秒时间内的积累效应使物体动量发生变化，所以可以用动量定理求解。
因为动量定理是矢量式，所以先规定一个正方向，我们取初速度v的方向为坐标轴的方向。列出动量定理：合外力的冲量等于物体动量的变化，即$Ft = mv' - mv$。把数值带入，这里$v' = -2$米每秒（因为是反向），得到$F×4 = 10×(-2) - 10×10$。对这个方程求解，可得$F = -30$牛，负号表示该力的方向与初速度方向相反。
这里大家思考一个问题，如果把这里的4秒改成4米，那么这个力又该多大呢？题目就变成：一个质量$m = 10$千克的物体，以$v = 10$米每秒的速度做直线运动，受到一个反向作用力，经过4米位移，速度变为反向2米每秒。这个力是多大？
由于这里没有时间，有力在空间上的积累效应导致物体动能发生变化，所以可以列动能定理。设该力大小为F，思考一下，列动能定理时要不要规定正方向？不需要，因为功和能都是标量。列出动能定理：合外力做的功等于物体动能的变化，即$W = E_{k}' - E_{k}$，$Fs\cos180^{\circ} = \frac{1}{2}mv'^{2} - \frac{1}{2}mv^{2}$。这里力和位移方向相反，夹角是$180^{\circ}$，$\cos180^{\circ} = -1$。$v'$是2米每秒，这里写不写负号都没关系，因为平方后是正值。带入数值$F×4×(-1) = \frac{1}{2}×10×2^{2} - \frac{1}{2}×10×10^{2}$，对这个方程求解，可得$F = 120$牛。
通过这两个题目，大家感受到利用动量定理和动能定理解决问题的区别了吗？有的同学可能会想，例一用以前的牛顿运动定律不也能求解嘛？确实可以。首先根据运动学公式$a = \frac{v' - v}{t}$，求出加速度$a = \frac{-2 - 10}{4} = -3$米每二次方秒。然后代入牛顿第二定律$F = ma$，算出这个力也是$-30$牛。有的同学可能会问，用牛顿运动定律能求解，为什么还要学习动量定理呢？牛顿运动定律和动量定理本质上相同，但有些题目用动量定理求解更方便，后面学习大家就会体会到。
下面我们来看例二，这也是书本问题与练习的第四题。质量是40千克的铁锤从5米高处落下，打在水泥砖上，与水泥砖撞击的时间是0.05秒。撞击时铁锤对砖的平均冲击力是多大？$g = 10$米每二次方秒。
整个过程可分成两个阶段，第一个阶段是铁锤自由下落，第二个阶段是铁锤与水泥砖发生碰撞。已知下落高度是5米，可求出碰撞前的速度。设碰撞前铁锤的速度是v，在自由下落过程中机械能守恒，根据$mgh = \frac{1}{2}mv^{2}$，带入数值$40×10×5 = \frac{1}{2}×40×v^{2}$，可算出碰撞前速度$v = 10$米每秒。
根据撞击时间是0.05秒，可列动量定理。在碰撞过程中，铁锤不只受一个力，先对铁锤受力分析，铁锤受到重力$mg$，方向竖直向下，还受到一个支持力$F_N$，方向竖直向上。规定竖直向下为坐标轴的方向，列出动量定理：合外力的冲量等于物体动量的变化，即$(mg - F_N)t = 0 - mv$。把数值带入，$(40×10 - F_N)×0.05 = 0 - 40×10$，求解可得$F_N = 8400$牛。
这里要注意，$F_N$是水泥砖对铁锤的平均冲击力，而我们要求的是铁锤对砖的平均冲击力，根据牛顿第三定律，铁锤对砖的平均冲击力大小也是8400牛，方向竖直向下。
对于这题，我们还可以对整个过程列动量定理。首先根据下落高度5米，求出自由下落的时间。设自由下落时间为t，根据自由落体运动公式$h = \frac{1}{2}gt^{2}$，代入数据$5 = \frac{1}{2}×10×t^{2}$，可求出$t = 1$秒钟。
然后对整个过程列动量定理，仍取竖直向下为坐标轴的方向。重力始终作用在物体上，自由下落过程重力作用了时间t，碰撞过程重力作用了0.05秒，所以重力的冲量是$mg(t + 0.05)$。支持力只作用了0.05秒，方向向上，所以支持力冲量是$-F_N×0.05$。它们相加就是合外力的冲量，等于物体动量的变化，末动量为0，初动量也为0。即$mg(t + 0.05) - F_N×0.05 = 0 - 0$，代入数据$40×10×(1 + 0.05) - F_N×0.05 = 0$，求解可得$F_N = 8400$牛，再根据牛顿第三定律得到相同答案。这样对整个过程列动量定理，是不是感觉更简单一些？
这里再思考一个问题，如果铁锤不是落在水泥砖上，而是落在沙土地上，作用时间不是0.05秒，而是0.5秒，此时平均冲击力有多大呢？题目为：质量是40千克的铁锤从5米高处落下，打在沙土地上，与沙土地撞击的时间是0.5秒。撞击时铁锤对沙土地的平均冲击力有多大？$g = 10$米每二次方秒。
自由落体运动阶段不变，根据运动学公式求出自由下落时间还是1秒钟。然后对整个过程列动量定理，取竖直向下为坐标轴方向，列出动量定理$mg(t + 0.5) - F_N×0.5 = 0 - 0$，代入数据$40×10×(1 + 0.5) - F_N×0.5 = 0$，解得$F_N = 1200$牛。根据牛顿第三定律，铁锤对沙土地的平均冲击力大小也是1200牛，方向竖直向下。