师：同学们，大家好。很高兴今天和同学们一起学习这节课。我们从古人怎样计算说起。古人的计算从计数开始，最开始依靠掰手指计数。随着数目增大，又学会了结绳、用石子等方式记录计算结果，渐渐地开始使用工具计算。这节课我们就一起来认识这些计算工具。算筹是人类最早使用的计算工具，2000多年前，中国就开始使用算筹计数和计算了。在前面的学习中，我们已初步认识算筹，知道用算筹计数有两种不同摆法。接下来请大家打开学习单，试着写一写下面用算筹表示的数是多少，自己试一试。
生：（尝试书写）
师：同学们，写完了吗？我们一起来交流一下。
生1：我知道这些用竖筹摆出的数码是我国古代的计数符号，我把数码在表格里圈了出来，这样就知道它们表示的数字。这个圈表示0，按照顺序写出来，这个数是125406。
生2：我还有个办法，算筹用纵横相间的方法表示数，横着摆的小棒和竖着摆的小棒在不同数位。我先把这些小棒按不同方向分开，就知道它是个六位数。接着观察，算筹表示1 - 5这些数字时，无论横竖，有几根小棒就表示几；6 - 9这些数字，上面那根方向不同的小棒表示5，下面一根表示1。这样通过数小棒，我就知道每一位表示几。
师：好，我们发现古人用算筹计数时，就已运用十进制计数法。其实古人不仅用算筹计数，还用它计算。我国著名数学家祖冲之就是用算筹算出π值在3.1415926和3.1415927之间，这一结果比西方早了近1000年。随着社会经济发展，人们不断改进计算工具。1000多年前，中国人发明了一种新的计算工具——算盘。同学们在二年级时已认识算盘，如果让你在算盘上表示出125406，怎样拨珠呢？请大家想一想，说一说。如果你有算盘，还可以试着拨一拨，说说你是怎么想的。我们一起来交流一下。
生3：我觉得要先确定数位，算盘上任何一档都能当个位，比如这一档是个位，从右往左依次是十位、百位、千位、万位、十万位。现在就能拨珠子了，算盘上一颗下珠表示1，一颗上珠表示5。所以我在十万位上拨一颗下珠表示一个十万；万位上拨两颗下珠表示两个万；千位拨一颗上珠表示5个千；百位上拨4颗下珠表示4个百；十位是0，不拨珠就能表示0；最后个位上拨一颗上珠和一颗下珠，表示6个一。
师：只要找整数位，看清每一位上算珠表示的数，就能知道算盘上表示的数。接下来请同学们打开学习单，试着写出这两个算盘上的数分别是多少。同学们，写完了吗？分别是多少呢？
生4：左边算盘上表示的数是534067，右边算盘上表示的数是35215862。
师：大家都写对了吗？同学们，算筹和算盘是我国古代非常重要的计算工具，它们之间有哪些联系呢？请同学们用自己喜欢的方式比一比，找一找。
生5：我发现算筹和算盘表示方式有很多相同地方，比如表示2，算筹和算盘都用两个来表示，只不过算筹是两根小棒，算盘是两颗珠子。但像表示6就不是用6个东西，这里面有的表示1，有的表示5。算筹用横竖摆来区分，算盘用上珠和下珠区分。不过一画图，我还发现算筹和算盘也有不同。算筹表示5用5根小棒，算盘表示5用一颗上珠更简单。算筹不用一根竖过来的小棒表示5，因为这样就和纵式里的1一样了。
生6：我列出了一个表格，发现无论是算筹还是算盘，表示数的时候都要有数位，每一位都能表示0 - 9这10个数字。有了数位，10个数字就能表示出无穷无尽的数。不同的是，算筹用纵横相间的方式区分数位，算盘定了档，从右往左就能找到每一位。虽然它们都能表示10个数字，但算筹有两种表示方式，算盘统一成一种，我觉得算盘表示数更方便。
师：同学们都有很好的方法。我们发现无论是算筹还是算盘，都贯穿十进制计数法，都是古人重要的计算工具，时至今日，算盘依然发挥作用。现在生活中常见两种算盘，一种有5颗下珠，两颗上珠，每一档有7颗珠子，这是我国传统算盘；另一种有4颗下珠，1颗上珠，每一档有5颗珠子，这是传入日本后，日本人简化而成的。听到这里，有同学提出一个问题。
生7：算盘上的珠子少了会影响我们计数吗？
师：咱们用五珠算盘拨一拨123456789，这种五颗珠算盘每一档最多能表示9，再添一个就是十，满十就向前一位进一，在十位上拨一颗珠子就能继续计数，这不就是我们熟悉的十进制吗？看来减少成5个珠子计数已足够。那为什么我国传统算盘还要设计成7珠的呢？
生8：我之前查阅过资料，这与我国传统的质量单位斤和两的换算有关。在我国古代，一斤等于16两，也就是满16两就要换成一斤。看咱们传统算盘，一颗上珠表示5，两颗就是10，加上5颗下珠是15，也就是说每一档最多能表示15，再添一就是16了，满16就需要向前一位进一，这不就跟斤和两的换算是一样的吗？满了16两就要换成一斤。看来当时算盘设计成7颗珠子是有原因的。