师：同学们好，很高兴能和你们一起学习。今天我们学习人教版五年级上册第三单元小数除法例7、例8循环小数。什么是循环呢？我们来看生活中的循环现象，其实循环就在身边，像一年四季春夏秋冬，下一年依旧是春夏秋冬，周而复始，这就是循环。同学们，从这些现象中，你们觉得循环有什么特点？
生1：我发现这些现象都是重复出现，持续不断的。
生2：我发现它们都是按照一定顺序重复出现的。
师：同学们真善于观察、思考和表达。按照一定顺序，也可以说依次不断重复出现的现象就是循环。同学们，我们都知道王鹏是个爱运动的学生，看，他正在参加学校举行的跑步比赛。从图中你们知道了什么数学信息？根据这些信息能提出什么数学问题？
生3：从图中我知道王鹏400米只跑了75秒，我提的数学问题是，他平均每秒跑多少米呢？
师：这个问题你们能解决吗？请根据信息列算式计算。解决了吗？我们来交流一下。
生4：求平均每秒跑多少米，就是求速度，根据路程除以时间等于速度。我列的算式为400÷75，但是在求400÷75商的计算过程中我遇到了问题。我发现400÷75除不尽。
师：屏幕前的同学也遇到和小莹同样的问题了吗？我们一起来看看小莹的计算过程，你们有什么发现？
生5：我发现余数总是25，商的小数部分总是重复出现。
师：重复出现的商和余数有什么联系吗？
师：同学们很会观察和思考，让我们带着问题再次探究400÷75的计算过程。400÷75，整数部分商5，5×75 = 375，400 - 375 = 25，第一次出现余数25，整数部分除完，开始除小数部分。先在商5的后面点上小数点，再在余数25后面添0继续除，第一次商3，3×75 = 225，250 - 225 = 25，第二次出现余数25，继续除250÷75，第二次商3，3×75 = 225，250 - 225还是等于25，第三次出现余数25，继续除250÷75，第三次商3，3×75 = 225，250 - 225又等于25，按照这样继续除下去，还是重复上面的过程。所以我认为只要余数25不断重复出现，商3就不断重复出现。
生6：我明白了，如果继续除，无论除到哪一位，竖式中余数25都不断重复出现，商的小数部分从十分位起，每一次添0继续除，商都是3，400除以75除不尽。
生7：我同意他俩的想法，既然400除以75除不尽，那它的商怎样写呢？
生8：我认为可以把重复的数字3写2 - 3遍，这样便于发现重复的部分是数字3。因此我先写5.333，再添上省略号，表示因为不断重复出现而写不完的数字。
师：同学们真善于学习，在不断质疑、思考、探索、交流中发现了400÷75除不尽的原因是余数25不断重复出现，还借助省略号写出了400÷75的得数，真了不起。你们还有什么疑问吗？
生9：400÷75商的小数部分不断重复出现数字3，这是一种偶然现象吗？还有这样的算式吗？
师：同学们提的问题真好，让我们带着这个问题继续探究。请同学们计算下面两道算式，再观察它们商的特点，看看有什么发现。
生10：我发现28÷18的商和400÷75的商一样，小数部分也有重复出现的数字。只不过这道题重复出现的数字是5。
师：你们观察到了吗？为什么会重复出现数字5呢？
生10：因为计算过程中余数10不断重复出现，添0继续除，商的小数部分就会不断重复出现。
师：你说的很有道理。
生11：在计算78.6÷11时，我发现商的小数部分也有重复出现的数字，但是这次重复出现的数字是4和5。
师：同学们，你们发现了吗？商的小数部分为什么会从百分位起依次不断重复出现4和5呢？
生12：我观察了余数的特点，当余数是5添0，继续除商就是4。当余数是6添0，继续除商就是5。因为余数部分5和6不断交替重复出现，所以商4和5不断交替重复出现。
师：同学们不仅观察得仔细，解释得也很清楚，你们听明白了吗？
生（齐）：听明白了。
师：当余数不断重复出现，商的小数部分就不断重复出现。所以我认为当余数第二次出现时，后面就不用再除了，也能确定后面的商都是5。可以这样简化刚才的计算过程，你们同意吗？