师：大家好，欢迎来到今天的数学课堂。这节课我们一起学习小学数学，北京师范大学出版社五年级下册第五单元第一课时——分数除法一。上课之前，请大家准备好长方形纸、彩色笔、数学本、钢笔和直尺，都准备好了吗？接下来，就让我们开启今天的学习之旅吧。首先，来看一看本节课的学习目标：在具体的操作活动中，探索并理解分数除法的意义；探索并掌握分数除以整数的计算方法，并能正确计算；能够运用分数除法解决简单的实际问题。同学们，我们先来回顾一下与这节课有关的数学知识，请说出下面分数的倒数。
生：因为乘积为 1 的两个数互为倒数，所以 3 的倒数是$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{7}$的倒数是$\frac{7}{5}$。
师：是的，乘积为 1 的两个数互为倒数。那下面的两道题你会计算吗？
生：运用分数乘分数的运算法则直接计算。第一道算式$\frac{4}{7}×\frac{1}{3}=\frac{4}{21}$。第二道算式$\frac{5}{8}×\frac{4}{9}$，其中 8 和 4 能约分，结果等于$\frac{5}{18}$。
师：接下来，我们就利用倒数和分数乘法的有关知识去探索新的知识。手工课上，咱们的好朋友淘气遇到了一个问题，你能帮他解决吗？把一张纸的$\frac{4}{7}$平均分成两份，每份是这张纸的几分之几？想一想把哪一部分平均分成两份，每份是多少？在准备的长方形纸上，用自己喜欢的方法做一做。
生：我是这样做的，先把这张纸平均分成七份，涂出其中的四份，再把这四份平均分成两份。我发现$\frac{4}{7}$里面有四个$\frac{1}{7}$，平均分成两份，每份是二个$\frac{1}{7}$，就是$\frac{2}{7}$。
师：这位同学利用动手操作和分数的意义，把$\frac{4}{7}$看成了四个$\frac{1}{7}$，得到每份是这张纸的$\frac{2}{7}$。那你们能用算式表示这个计算过程吗？
生：让我想想。我知道了，把一张纸的$\frac{4}{7}$平均分成 2 份，就是把其中的四份平均分成 2 份，可以用分子$4÷2$得到，每份是$\frac{2}{7}$，算式表示为$\frac{4}{7}÷2 = \frac{4÷2}{7} = \frac{2}{7}$。
师：这两位同学通过操作和列算式解决了这个问题。你还有什么疑问呢？
生：是不是所有分数除以整数都可以用分母不变，被除数除以除数，得到商的分子？
师：大胆地猜想是一种非常好的数学思想方法，但还要经过科学的验证。我们来看看利用刚才的方法能不能解决这一题呢。把一张纸的$\frac{4}{7}$平均分成三份，每份是这张纸的几分之几？先想一想，再动手做一做。
（学生操作后）
师：你做好了吗？我们来听一听这几位同学探究的结果。
生：我发现第一个问题中的分子 4 是 2 的倍数，但是这一题中的分子 4 不是 3 的倍数，该怎么办呢？
师：是呀，分子 4 不是 3 的倍数，该怎么办呢？在上一题中，我们运用直观操作找到了解决问题的方法，相信你一定从中受到了启发。请同学们拿出第二张长方形的纸，动手操作，聪明的你一定完成了。我们来听一听这几位同学的想法。
生：按照刚才的做法，先把这张纸平均分成 7 份，涂出其中的 4 份表示这张纸的$\frac{4}{7}$。我发现把这张纸的$\frac{4}{7}$平均分成 3 份，不好计算，也不方便画出来。我试着横着分，这样就可以把这张纸的$\frac{4}{7}$平均分成三份了，然后涂出这样的一份。
师：最后得到的是这张纸的几分之几呢？
生：我再这样做，就把这张长方形纸平均分成了 21 份，最后得到的就是这张纸的$\frac{4}{21}$。
师：那如何用算式来表示这种直观操作呢？
生：把$\frac{4}{7}$平均分成 3 份，每份相当于求$\frac{4}{7}$的$\frac{1}{3}$，所以$\frac{4}{7}$除以 3 就可以写成$\frac{4}{7}×\frac{1}{3}=\frac{4}{21}$。
师：你真是个积极探索、善于观察的孩子。我们再来仔细观察刚才的解题过程，你还有什么发现？
生：我发现除号变成了乘号。
生：我还发现 3 变成了$\frac{1}{3}$。
师：看来刚才的方法还是有一定局限性的，还是把分数除法变成分数乘法来解决更好一些。
同学们观察得真仔细，会把新知识转化成旧知识来解决，以旧学新是我们数学学习的一个重要方法。现在你能利用这种方法解决“把一张纸的$\frac{4}{7}$平均分成二份，每份是这张纸的几分之几”的问题吗？
生：把一张纸的$\frac{4}{7}$平均分成二份，每份是这张纸的几分之几，也就是求$\frac{4}{7}$的$\frac{1}{2}$是多少。所以$\frac{4}{7}$除以 2 可以写成$\frac{4}{7}×\frac{1}{2}$，约分后等于$\frac{2}{7}$。
师：这个问题，我们既可以用$\frac{4}{7}÷2 = \frac{4÷2}{7} = \frac{2}{7}$这种方法来解决，也可以用第二种方法来解决。但是像这一题，当被除数的分子不是除数的倍数时，我们可以选择第二种方法。看来这种方法更具有普遍性，那咱们就用这种方法来算一算这两道题，你完成了吗？一起来看看这位同学是怎么算的吧？
生：$\frac{8}{9}÷6 = \frac{8}{9}×\frac{1}{6}$，约分后等于$\frac{4}{27}$；$\frac{4}{15}÷12 = \frac{4}{15}×\frac{1}{12}$，约分后等于$\frac{1}{45}$。