师：亲爱的同学们，大家好，欢迎来到今天的数学课堂。前面我们已经学习了分数乘法单元的相关知识，知道了分数乘法的计算方法。今天我们将继续学习分数乘法第三单元第 7 课时的内容——倒数。本节课你们想了解哪些知识呢？我们来请笑笑和淘气说说他们心中的疑问。
生：我想知道什么是倒数？倒数的意义是什么？
生：我想知道一个数的倒数有哪些特征？如何求一个数的倒数？
师：嗯，他们想知道倒数的意义、倒数的特征以及如何求一个数的倒数。我想同学们每个人心中可能都有自己的疑问，那么今天就让我们带着这些疑问，一同走进今天的新课探究。请看大屏幕，算一算，说一说你有什么发现？同学们还记得分数乘法的计算方法吗？回忆一下，我们来看第一题，$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$，分数乘分数可以用分子乘分子，分母乘分母，然后再进行约分，$\frac{6}{6}=1$。第二道题目是整数乘分数，我们可以用整数 2 乘分子 1 等于$\frac{2}{2}$，结果等于 1。第三道题目我们可以用$7×9 = 63$，分母$9×7$也是 63，最终$\frac{63}{63}$，结果也等于 1，$\frac{1}{10}×10$，我们还可以用 10 和 10 直接进行约分，结果也等于 1，同样$\frac{6}{5}×\frac{5}{6}$的结果也等于 1，$7×\frac{1}{7}$的结果也等于 1。好了，同学们，从这 6 道算式中你发现了什么呢？想一想。好，我们来请笑笑汇报一下。
生：我发现它们的乘积都等于 1，乘法算式中的两个乘数，分子分母是互相颠倒的。
师：同学们，你们同意笑笑的观点吗？我们来看这 6 道算式，它们都是用什么方法计算的呀？对呀，仔细观察都是用乘法计算的，而且它们的结果都等于 1。刚才笑笑总结出，分数的分子和分母是相互颠倒的，我们来看是什么意思呢？我们把这六道算式整理一下，分成两块，第一块是分数和分数相乘的，放在上面一行，整数和分数或者分数和整数相乘的放在第二行。好了，同学们，观察第一行的算式，它们有什么规律呢？通过观察可以发现它们的分子和分母调换了位置。请看$\frac{2}{3}$的分子是 2，$\frac{3}{2}$的分母是 2，它们的分子和分母调换了位置，$\frac{6}{5}$和$\frac{5}{6}$，分子和分母也是调换了位置。那我们来看第二行，它们的分子和分母怎么调换呢？我看有不少同学已经有想法了。
生：对，可以把 10 看作是$\frac{10}{1}$，那么$\frac{1}{10}×\frac{10}{1}$，结果等于 1，也就是说$\frac{1}{10}$和$\frac{10}{1}$也是分子和分母调换了位置。同样 2 可以看作是$\frac{2}{1}$，那么它乘$\frac{1}{2}$的结果也等于 1，7 可以看作是$\frac{7}{1}$，乘$\frac{1}{7}$也等于 1。
师：从这 6 道算式里面我们可以得到这样一个结论，乘积为 1 的两个数互为倒数。同学们，在这句话里有几个关键词要注意一下，第一个必须是乘积为 1。看上面这六个算式全部都是相乘的关系，所以必须是乘积，而且结果必须是 1，这样才能符合互为倒数的条件。第二个关键词是两个数，这里面必须是两个数相乘。第三个关键词是互为倒数。什么叫互为倒数呢？我们看第一个算式，$\frac{2}{3}×\frac{3}{2}$，我们可以说$\frac{2}{3}$是$\frac{3}{2}$的倒数，或者说$\frac{3}{2}$是$\frac{2}{3}$的倒数，这就叫互为倒数。举个例子，比方说老师和同学们是好朋友，可以怎么说啊？老师是你的朋友，你是老师的朋友，这就是一种相互依存的关系。好了，同学们，你们知道什么是互为倒数了吗？互为倒数的条件是什么？我们还可以借助长方形的面积来进一步认识倒数。看一看，说一说。如果把互为倒数的两个数分别作为长方形的长和宽，请同学们算一算它的面积是多少呢？我看同学们可能都有答案了，我们一起来看看。
生：第一个长和宽都是 1，它的面积应该是$1×1 = 1$。第二个它的长是 5，宽是$\frac{1}{5}$，它的积应该是$5×\frac{1}{5}$，结果也是 1。同样的，$\frac{4}{3}×\frac{3}{4}$，$\frac{9}{7}×\frac{7}{9}$，它们的结果都等于 1。
师：从这四个算式中，同学们能发现什么规律呢？思考一下，我们请淘气来说一说他的发现。
生：互为倒数的两个数分别作为长方形的长和宽，那么长方形的面积一定为 1，也就是说互为倒数的两个数乘积一定为 1。
师：淘气总结得很好，他说互为倒数的两个数乘积一定为 1。我们想一想这句话，看这个表格里长是 1，宽是 1，面积是 1 的情况，这应该是一个正方形。长是 5，宽是$\frac{1}{5}$，这是一个长方形，长是$\frac{4}{3}$，宽是$\frac{3}{4}$，这个长方形和刚才那个长方形形状不一样。长是$\frac{9}{7}$，宽是$\frac{7}{9}$的时候，形状也不一样。我们可以这样想，无论这个长方形形状如何变化，只要这两个数互为倒数，那么它的面积就一定为 1。好了，同学们，我们知道了乘积为 1 的两个数互为倒数，且互为倒数的两个数乘积一定为 1，那么大家再思考这样一个问题。如果一个长方形它的面积是 1，同时我告诉你长方形的其中一条边，同学们能求出它的另外一条边吗？我们来看下面 4 个长方形的面积都是 1，请你填一填。这道题目其实可以运用长方形的面积公式来解决，我们知道长方形的面积等于长乘宽。知道面积了，我们可以用面积除以其中的一条边就可以得出另外一条边的长度。我们来看第一题，$1÷1 = 1$，也就是说我们可以用面积除以其中一条边，得出另外一条边都是 1。那么第二个题目我们可以用面积 1 除以长 2，最后的结果等于$\frac{1}{2}$，所以它的宽应该是$\frac{1}{2}$。第三个它的结果可以用$1÷3 = \frac{1}{3}$。第四个同学们思考一下，它的宽是小数的时候，我们又该如何解决呢？其实还是用面积除以一个小数，$1÷0.4 = 2.5$，当然这个结果也可以等于$\frac{5}{2}$。好了，我们可以用除法来求一个数的倒数，想一想还有别的方法吗？刚才我们学到了倒数的意义，能不能用倒数的意义来解决呢？第一个我们可以想 1 乘以几等于 1，应该是$1×1 = 1$。那么第二个我们可以怎么想呢？2 乘多少等于 1 呢？这里面我们可以把 2 看作$\frac{2}{1}$，想一下$\frac{2}{1}×\frac{1}{2} = 1$，所以它的另外一条边等于$\frac{1}{2}$。同样我们还可以想$\frac{3}{1}×\frac{1}{3} = 1$。最后我们可以把 0.4 化为$\frac{2}{5}$，然后用$\frac{2}{5}×\frac{5}{2}$的结果也等于 1，所以它的另外一条长应该是$\frac{5}{2}$。我们用了两种不同的方法求出了长方形的另外一条边。同学们，从这 4 题中你有什么发现呢？思考一下，其实我们可以从这 4 题里面得出这样几个结论，第一个 1 的倒数还是 1；第二个除了分数有倒数以外，我们刚才算了 2 也有倒数，2 的倒数是$\frac{1}{2}$，小数也有倒数，0.4 的倒数就是$\frac{5}{2}$。想一想这个问题，我们如何可以快速地去求出一个数的倒数呢？我们可以把它化成分数，然后用分子和分母调换位置的方式，可以快速地求出那个数的倒数。好了，同学们，我们刚才探究了如何求一个数的倒数，那么就运用刚才所学的知识来尝试解决下面几个题目。第一个$\frac{3}{10}$乘多少等于 1，我们来看这个算式，它是乘法，而且它们的结果等于 1。那么根据倒数的意义，乘积为 1 的两个数互为倒数，所以我们想$\frac{3}{10}$的倒数应该是多少呢？$\frac{10}{3}$，也就是说我们可以把$\frac{3}{10}$的分子和分母调换一下位置就可以了。那么同学们能快速地找出 7 的倒数是多少吗？7 乘以多少等于 1 呢？应该是$7×\frac{1}{7} = 1$。那么 1 乘多少呢？$1×1 = 1$，在这里面 1，它的倒数还是 1。最后一个题目是一个开放性的题目，同学们思考一下，其实每个人都会有自己不同的答案，这里老师给大家随便出一个，大家能不能看出它的倒数是多少呢？$\frac{13}{8}×\frac{8}{13} = 1$。大家思考这样一个问题，0 有倒数吗？我请一个同学来说一说，笑笑，你来说你的观点。