师：同学们好，欢迎再次来到课堂，让我们一同进入数学天地，遨游知识海洋。今天我们学习初中数学北师大版七年级上册第五章一元一次方程的回顾与思考。首先，我们来梳理本章学习的内容。老师简单整理了一下，主要包含三部分。
第一部分是认识一元一次方程，涵盖一元一次方程和方程的解的概念，以及等式的基本性质。
第二部分是求解一元一次方程，要掌握其解法步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1，共 5 个步骤。
第三部分是应用一元一次方程，需了解解题步骤有审、设、列、解、检验、答，还有几种典型例题。
接下来，我们依次回顾相关概念。同学们要清楚，第一，什么是方程？含有未知数的等式叫做方程。第二，什么是方程的解？使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。所以在解方程求出未知数后，可将其值代入方程检验。若左右两边不相等，说明解方程过程中某个方面或步骤有问题，需仔细检查。第三，什么是一元一次方程？在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1，同时还是整式方程，这样的方程叫做一元一次方程。这里要注意三个要素：一是要有未知数，且未知数系数不能为 0；二是未知数的次数为 1；三是必须是整式方程。这三个条件需同时满足，方程才是一元一次方程。
掌握概念只是起点，我们还要能准确辨析。来看练习，判断下列各式哪些是方程，哪些是一元一次方程，为什么？方程是其中的 2、4、5、6、7，因为含有未知数的等式叫做方程，这几个式子都符合要求。而第 1 个只是代数式，第 3 个是不等式。一元一次方程是 2 和 6，因为在一个方程中只含有一个未知数，且未知数次数为 1 的方程才是一元一次方程。另外，第 4 个不是整式方程，第 5 个最高次数是二次，不是一次方程，第 7 个有两个未知数，不是一元方程。
我们还要掌握等式的基本性质。同学们先填一下，第一个性质：等式两边同时加或减同一个代数式，所得结果仍是等式。第二个性质：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，所得结果仍是等式。这里要重点关注“同时”和“同”，特别是除以时，除数不能是 0。
那能不能运用等式的基本性质，写出一个以(x = 4)为根的一元一次方程呢？其实就是化简为繁，在等号两边按等式基本性质任意进行加减乘除即可，这与解方程过程互逆。比如，在(x = 4)两边都加 3，就得到新方程(x + 3 = 7)；在(x = 4)两边都乘以 2，就得到新方程(2x = 8)；若在(x = 4)两边先乘以 2，再加上 3，就得到新方程(2x + 3 = 11)等等。做对了吗？注意，这里的任意加减乘除必须遵循等式基本性质，注意“同时”和“不为零”这两个关键词。
认识一元一次方程是本章第一部分内容，再看第二部分，求解一元一次方程。首先要掌握解一元一次方程的基本步骤，有去分母、去括号、移项、合并同类项和未知数的系数化为 1 这五个步骤。
老师在黑板上出了一道解方程的题：(\frac{3}{2}x - 1 = \frac{4}{5}x + 2 - 1)。小明马上举手到黑板上做题，他的做法如下：
解：第一步去分母得(5(3x - 1) = 2(4x + 2) - 1)。
第二步去括号得(15x - 5 = 8x + 4 - 1)。
第三步移项得(15x - 8x = 4 - 1 + 5)。
第四步合并同类项得(7x = 8)。
第五步系数化为 1 得(x = \frac{7}{8})。
小明做完回到座位后，小丽举手发表看法。小丽说小明解方程步骤虽知道，但没掌握好，解题出了错误。大家同意小丽的说法吗？如果小丽是对的，方程正确的解(x)等于多少呢？同学们怎么看？
是的，我们同意小丽的说法。根本原因是小明在第一步去分母时漏乘了，方程最后的常数项(-1)没有乘以各分母的最小公倍数(10)。所以要把(-1)改成(-10)，这样在第一、二、三步中需要改动的共有三处，同时第四步合并同类项的结果也会变成(-1)。
第五步系数化为 1，在方程两边同时除以未知数的系数 7 后，就能得到正确的解，即(x = -\frac{1}{7})。
接下来轮到同学们了，解一个方程(\frac{x + 1}{2} - 1 = \frac{2 - 3x}{3})。书写时步骤要规范，等号要对齐。同学们先在练习本上做一做，老师给大家提供一个参考解答过程。
解：第一步，去分母，方程两边同时乘以各分母的最小公倍数 6，得(3(x + 1) - 6 = 2(2 - 3x))。注意整数项不要漏乘。
第二步，去括号得(3x + 3 - 6 = 4 - 6x)。记住不要漏乘括号里的每一项。
第三步，移项得(3x + 6x = 4 - 3 + 6)。这里是将含未知数的项放在等号左边，常数项放在右边。
第四步，合并同类项得(9x = 7)。运算时千万不要出错。
第五步，系数化为 1，在方程两边同时除以未知数的系数 9，得(x = \frac{7}{9})。做对了吗？
学习最终目的是应用。再看应用一元一次方程，这里先要掌握列方程解应用题的基本步骤：审题、假设未知数、列方程、解方程、检验、作答。要求我们拿到问题后，先认真读题、审题，理解题意，然后根据具体情况假设恰当的未知数，可以是直接未知数，也可以是间接未知数。再根据题目中的相等关系列出相应代数式，从而列出方程，接着准确解方程，求出未知数的值，还要验证未知数的值是否合理，最后完整写出答案。
接下来回顾本章几个典型问题。
第一个，水箱变高了问题。这是学习任务单上的题目：锻造直径为 2 厘米、高为 16 厘米的圆柱形机器零件 10 个，需直径 4 厘米的圆钢多少厘米？大家应该做过了，这题的相等关系是 10 个机器零件的体积等于直径 4 厘米的圆钢的体积。解答过程如下：
解：设需直径 4 厘米的圆钢(x)厘米，根据题意得(\pi\times(\frac{2}{2})^2\times16\times10 = \pi\times(\frac{4}{2})^2\times x)，解得(x = 40)。所以需直径 4 厘米的圆钢 40 厘米。
这里一般是根据体积、面积、周长等不变的关系建立方程，需要我们熟记各种常用公式，比如三角形、长方形、梯形、圆等图形的面积公式和周长公式，以及正方体、长方体、圆柱体等的体积公式等。
第二个，打折销售问题。这是课本第 146 页的例题，例如某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是(10%)，已知这种商品的进价为 1800 元，那么这种商品的原价是多少？这题的相等关系是((售价 - 进价)\div 进价 = 利润率)。解答如下：