师：同学们，这节课我们继续学习一元一次方程的应用——第三课时。请大家准备好纸和笔。先看这样一个问题：工人师傅要把一根20米长的绳子截成两段，两段绳长之比为2 : 3，每段绳长分别是多少？这个问题大家小学就见过，是有关比例的问题，请先用自己的方法解决一下。
（学生思考解答）
师：好，我们来对比一下解决过程。这两位同学的答案正确吗？对，他们俩的答案都是正确的。两段绳长之比为2 : 3，相当于把整根绳子等分为5份，一段占两份，另一段占3份。第一位同学用20÷5 = 4米，先算出每一份绳长为4米，再用每一份绳长乘以各自所占份数，得到两段绳长分别为4×2 = 8米，4×3 = 12米。另一位同学直接用20×2/5 ，20×3/5算出两段绳长，这样做也是可以的。同学们，你们也是这样算的吗？
以上是用列算式的方法，那这题能用方程解决吗？好，我们回忆一下，列方程解决实际问题的一般步骤有哪些呢？
生：第一步，审题，弄清题意，分清已知量和未知量，找出等量关系。第二步，根据未知量设出未知数。第三步，根据等量关系列出方程，然后解方程，最后检验并写出答案。
师：那你认为设未知数列方程解决实际问题的关键是什么呢？
生：是第一步，审题，弄清题意，找出等量关系。
师：没错。请找出此问题中的等量关系。
生：有两个等量关系，一个是两段绳长之和等于20米，另一个是两段绳长之比等于2 : 3。
师：找到了等量关系，该如何设未知数呢？根据前面的解题经验，一般问题最后要求什么，我们就直接设它为未知数。这里有两个未知量，该怎么设呢？我们可以设其中一个未知量为x ，比如说设较短的那段绳长为x米。再选择一个等量关系作为依据，用含x的代数式表示出另一段绳长，再根据剩下的那个等量关系列出方程求解。好，请大家自己先试一试。
（学生尝试解题）
师：下面我们来对比交流一下解决过程。设较短的一段绳长为x米，这里有两个等量关系：短 + 长 = 20米，短 : 长 = 2 : 3。我们若选择第一个等量关系作为依据，那么较长的那段绳长为20 - x米，再根据剩下的这个带有比例的等量关系，便可列出比例方程：x :（20 - x）= 2 : 3。根据比例性质“内项积等于外项积”，可转化为3×（20 - x）= 2x ，解得x = 8。所以较长的那段绳长为20 - 8 = 12米。
答：两段绳长分别为8米和12米。我们也可以选择第二个等量关系作为依据。这里要注意，较长的那段绳长是3/2 x还是2/3 x呢？同样根据比例性质，内项积等于外项积，可得2倍的长等于3倍的短，所以长等于3/2倍的短。因此较长的一段绳长为3/2 x米。再根据第一个等量关系，它们的和等于20米，便可列出一元一次方程：x + 3/2 x = 20，解得x = 8，所以较长的绳长为8×3/2 = 12米。
最后给出答案。我们来对比一下这两种解决方案。从表面看是两种不同方法，但实际上解题思路一样，都是直接设要求的其中一个未知量为x ，然后选择一个等量关系作为依据，用含x的代数式表示出另一个未知量，再利用剩下的那个等量关系列出方程求解。
这两种方案都是设较短的绳长为x米。方案一是根据第一个等量关系表示出较长的那段绳长，再根据第二个带有比例的等量关系，列出比例方程。方案二则是选择第二个比例的等量关系表示另一段绳长，再利用剩下的第一个等量关系，列出一元一次方程。它们的不同之处仅在于选择哪个等量关系作为依据来表示另一段绳长，进而使剩下的等量关系不同，最后列出的方程也不同。同学们，你们选择的是哪一种解决方案呢？
老师也给出一种解决方案，大家看看行不行？设每一份绳长为x米，则两段绳长分别为2x米、3x米。有同学说行，那能说一说这样设的依据是什么吗？
生：根据短 : 长 = 2 : 3，相当于把整根绳子等分为5份，一段占两份，另一段占3份，所以可以这样设。
师：没错。再根据第一个等量关系，它们的和等于20米，便可直接列出方程：2x + 3x = 20，是不是很简单？同样解得每一份绳长为4米。所以两段绳长分别为2x = 2×4 = 8米，3x = 3×4 = 12米。
最后给出解答。下面我们对比一下方案3和前两种解决方案有什么不同。
生：方案3最大的不同在于它没有直接设要求的其中一个未知量为x ，而是设了与之相关的量为未知数。
师：像这种设未知数的方法，我们称为间接设未知数，即把与所要求的未知量有关的某一特定量设为未知数。而前两种方案都是直接设要求的量为未知数，这种设法称为直接设未知数，即把问题中直接要求的未知量设为未知数。
现在我们又多了一种设未知数解决问题的经验。下面对比一下这3种解决方案，在选设未知数方面，你觉得哪一种更好？为什么？
生：方案3好，设每一份绳长为x米，可根据比例关系直接表示出另外两个未知量，列出的方程也比较简单。
师：好，现在我们来解决书上的一个例题。三个作业队共同使用水泵排涝，三个作业队的面积之比为4 : 5 : 6，这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应负担多少元？请大家审清题意，用方程解决一下。
（学生思考解答）
师：首先要清楚，三个作业队应负担的费用是按什么分配的？
生：按照面积之比分配。
师：所以根据面积之比，可得到三个作业队应负担的费用之比也是4 : 5 : 6。根据刚才的解题经验，我们设每份土地排涝分担的费用为x元，选择间接设未知数，则三个作业队应负担的费用分别为4x元、5x元、6x元。再根据各部分数量之和等于总量，也就是总费用共计120元，便可列出方程：4x + 5x + 6x = 120，解得x = 8。所以三个作业队分别负担的费用为4x = 4×8 = 32元，5x = 5×8 = 40元，6x = 6×8 = 48元。