师：同学们好，这节课我们来学习初中数学沪科版七年级上册第三章第五节《三元一次方程组及其解法》第一课时。请准备好纸和笔，现在进入新课。首先，来看《九章算术》里的一道题目：“今有上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉、中禾三秉、下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉、中禾二秉、下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”用现代汉语表述就是，三束上等的稻，两束中等的稻，一束下等的稻，共出谷三十九斗；两束上等的稻，三束中等的稻，一束下等的稻，共出谷三十四斗；一束上等的稻，两束中等的稻，三束下等的稻，共出谷二十六斗。问上、中、下三种稻每束的出谷量各是多少？阅读完题目，请思考：题目中有几个未知量？能找出哪些等量关系？
通过分析可知，题目中的等量关系有三个：三束上等稻的出谷量加上两束中等稻的出谷量加上一束下等稻的出谷量等于三十九斗；两束上等稻的出谷量加上三束中等稻的出谷量加上一束下等稻的出谷量等于三十四斗；一束上等稻的出谷量加上两束中等稻的出谷量加上三束下等稻的出谷量等于二十六斗。未知量有三个，分别是一束上等稻的出谷量、一束中等稻的出谷量、一束下等稻的出谷量。
我们把这三个未知量分别用(x)斗、(y)斗、(z)斗来表示，这样就可以用方程表示上面三个等量关系：(3x + 2y + z = 39)，(2x + 3y + z = 34)，(x + 2y + 3z = 26)。
接下来，请同学们观察这三个方程，有什么发现？
生：通过观察可以发现，这三个方程中每个方程都含有三个未知数，并且未知数的次数都是一。
师：像这样的方程，我们把它叫做三元一次方程。如果把这三个方程联立在一起，又有什么发现呢？
生：把这三个方程联立在一起组成一个方程组，这个方程组中一共含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是一，并且方程组中共有三个整式方程。
师：像这样由三个一次方程组成，含有三个未知数的方程组，我们把它叫做三元一次方程组。前面我们学过二元一次方程组，同学们还记得解二元一次方程组的方法吗？
生：解二元一次方程组，是利用消元法把解二元一次方程组的问题转化为解一次方程。
师：那如何解三元一次方程组呢？我们可以类比解二元一次方程组的方法，通过消元把解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，再次消元把解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程，进而求解。同学们还记得解二元一次方程组时用的消元方法有哪些吗？
生：有代入法和加减法。
师：好，来看例题解方程组(\begin{cases}x + y + 2z = 3 \ -2x - y + z = -3 \ x + 2y - 4z = -2\end{cases})。观察这个方程组，每个方程都含有(x)、(y)、(z)三个未知数。如果先用加减消元法消去(x)，观察发现，把方程(2)加上方程(1)乘以(2)，可得(y + 5z = 3)；用方程(3)减去方程(1)，可得(y - 6z = -8)。这样就消去了(x)，由方程(4)和方程(5)组成一个只含有(y)和(z)的二元一次方程组。下面解这个二元一次方程组。
生：用方程(4)减去方程(5)得(11z = 11)，解这个一元一次方程，可得(z = 1)。把(z = 1)代入方程(4)，求得(y = -2)。再把(y = -2)和(z = 1)的值回代入方程(1)中，可得(x = 3)。所以原方程组的解为(\begin{cases}x = 3 \ y = -2 \ z = 1\end{cases})。
师：通过检验可知这是原方程组的解。刚才用加减消元法消去(x)解了这个方程组，同学们能不能尝试用代入消元法来解呢？
生：如果用代入消元法先消去(x)，由方程(1)得(x = 3 - y - 2z)，把(x = 3 - y - 2z)分别代入方程(2)和方程(3)，得到(y + 5z = 3)，(y - 6z = -8)。解这个只含有(y)和(z)的二元一次方程组，可得(y = -2)，(z = 1)。再把(y = -2)，(z = 1)回代入方程(1)中，可得(x = 3)。所以原方程组的解为(\begin{cases}x = 3 \ y = -2 \ z = 1\end{cases})。
师：同学们学会了吗？接下来看看本节课一开始提出的《九章算术》里出谷量的问题，怎么解这个方程组呢？