师：同学们好，今天这节课我们一起来学习初中数学人教版七年级上册第四章第三节角的第四课时——余角和补角。首先，大家知道一副三角尺中每个角的度数吗？这很简单，第一块三角板，两个锐角分别是45度，直角是90度，其中两个锐角的和是90度。第二块三角板，内角分别为30度、60度、90度，其两个锐角的和同样是90度。
接着，看一张长方形纸片沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角呢？我们一起来观察，形成了角1、角2、角3、角4，一共四个角。先来看角1和角2有怎样的数量关系，这也不难，因为长方形每个内角都是直角，所以角1与角2的和是90度。刚刚提到的两块三角板，两个锐角的和也分别都是90度。像这样，如果两个角的和是一个直角，就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。重点看定义：两个角的和是直角，所以互余是两个角之间的关系。当两个角相加等于90度时，这两个角就互为余角。比如角1 + 角2 = 90度，那么角1与角2互余，角1是角2的余角，角2也是角1的余角。45度 + 45度 = 90度，所以45度与45度互余，45度的余角是45度。30度 + 60度 = 90度，30度与60度互为余角，30度的余角是60度，60度的余角是30度。相信同学们还能列举出很多例子。
刚刚我们还看到了角3与角4，角3与角4构成了一个平角。像这种关系的两个角，我们叫什么呢？如果两个角的和等于180度（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角。同样，互补也是两个角之间的关系。比如角3 + 角4 = 180度，角3与角4互补，角3的补角是角4，角4的补角是角3。那思考一下，一副三角板中的45度、90度，三角形内角和是180度，这三个角能称为互补吗？答案显然是否定的，因为互补必须是两个角之间的关系，即两个角的和是180度才能说这两个角互补。
掌握了定义，我们来研究一下相关性质。大家能画出角1的余角吗？角1由两条边组成，要画出角1的余角，就是让角1与它的余角相加构成一个直角。可以以其中一边为边作一个直角，也可以以另一边为边作一个直角。这样，角2与角1构成直角，角2是角1的余角；角3与角1构成直角，角3也是角1的余角。同学们想一想，既然角3和角2都是同一个角的余角，那么角3与角2之间有怎样的关系呢？不妨假设角1的度数是一个具体数值，比如角1是30度，来求一下角2和角3的度数。很简单，角2 = 90度 - 30度 = 60度，角3也是60度，所以角2与角3都等于60度。再换一个数值，如果角1是32度，一起算一算角2与角3的度数。角2 = 90度 - 角1 = 90度 - 32度 = 58度，角3也等于58度，所以角2与角3都等于58度。通过举例发现，角2与角3相等。能用文字描述这个发现吗？
生：角2与角3都是角1的余角，也就是说角2与角3是同一个角的余角，两者是相等关系。
师：非常好，所以我们说同角的余角相等。这里，同角指的是角1，余角指的是角2和角3，角2等于角3。其符号语言可以这样描述：因为角1 + 角2 = 90度，角1 + 角3 = 90度，所以角2 = 角3 ，证明也很容易，因为角2可以表示为90度 - 角1，角3是90度 - 角1，所以角2 = 角3。咱们接着看，如图，角1与角2互余，角3与角4互余，且角1 = 角3。那么角2与角4相等吗？为什么？
生：可以试着把角2和角4用角1、角3表示出来。因为角1与角2互余，所以角2 = 90度 - 角1；因为角3与角4互余，所以角4 = 90度 - 角3。而角1 = 角3，所以90度 - 角1 = 90度 - 角3，即角2 = 角4。
师：非常棒，能用文字描述一下这个发现吗？
生：角2与角4是角1和角3的余角，而角1与角3又是相等的角，可以说等角的余角相等。
师：没错，这里的等角指的是角1 = 角3，其符号语言可以表示为：因为角1 + 角2 = 90度，角3 + 角4 = 90度，且角1 = 角3，所以角2 = 角4。接下来总结一下余角的性质，有同角的余角相等，等角的余角也相等，可以归纳在一起，即同角或等角的余角相等。类似的，补角也有相关性质，同角或等角的补角相等，同学们能自己证明一下吗？
生：以同角的补角相等来证明。因为角1 + 角2 = 180度，所以角2 = 180度 - 角1；因为角1 + 角3 = 180度，所以角3 = 180度 - 角1，所以角2 = 角3。
师：很好，等角的补角相等跟等角的余角相等证明方法类似，同学们课下可以完成。我们来做一些练习。第一题，图中给出的各角哪些互为余角？想一想，互为余角指的是两个角的和为90度。
生：10度与80度和为90度，所以10度与80度互为余角；30度与60度和为90度，30度与60度互为余角；50度与40度和为90度，所以50度与40度互余。