师：同学们好，今天这节课我们一起来学习初中数学人教版七年级上册第四章第三节角第三课时——有关角平分线的内容。在之前学习线段时，我们学过线段的中点，一起来回忆一下。点(M)把线段(AB)分成相等的两条线段(AM)与(MB)，点(M)叫做线段(AB)的中点。其符号语言还记得吗？因为点(M)是线段(AB)的中点，所以(AM = MB = \frac{1}{2}AB)，(AB = 2AM = 2MB)。
类似地，如果(\angle AOC = \angle BOC)，那么射线(OC)把(\angle AOB)分成两个相等的角，射线(OC)就是(\angle AOB)的角平分线。来看具体的角平分线定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类比线段中点的几何语言，角平分线的几何语言怎么说呢？我们可以说，因为(OC)是(\angle AOB)的平分线，所以(\angle AOC = \angle BOC = \frac{1}{2}\angle AOB)，(\angle AOB = 2\angle BOC = 2\angle AOC)。特别要注意，角的平分线是以这个角的顶点为端点的一条射线。线段有中点、三等分点、四等分点，类似地，角也有三等分线、四等分线等等。以这个图为例，其符号语言可以说，因为(OB)、(OC)是(\angle AOD)的三等分线，所以(\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \frac{1}{3}\angle AOD)，(\angle AOD = 3\angle AOB = 3\angle BOC = 3\angle COD)。
接下来看相关练习。第一题，射线(OC)在(\angle AOB)的内部，下列给出的条件不能得出(OC)是(\angle AOB)平分线的是，大家想一想。回忆角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角。所以(A)选项是正确的，原来的角是分成的其中一个角的二倍，或分成的其中一个角是原来角的(\frac{1}{2})，都符合定义，所以(C)和(D)也正确。那(B)错误的原因是什么呢？(B)选项说(\angle AOC + \angle BOC = \angle AOB)，根据之前学的角的和差问题，(\angle AOC + \angle BOC)本来就等于(\angle AOB)，所以不足以判断(OC)是否是角平分线，本题答案选择(B)。我们来看练习第二题，如图，(\angle1 = \angle2)，(\angle3 = \angle4)，则下列结论：1. (AD)平分(\angle BAF)；2. (AF)平分(\angle DAC)；3. (AE)平分(\angle DAF)；4. (AF)平分(\angle BAC)；5. (AE)平分(\angle BAC)，其中正确的是，大家想一想。
我们一起来分析，因为(\angle1 = \angle2)，所以(AE)平分(\angle DAF)，(3)是正确的。又因为(\angle1 = \angle2)，(\angle3 = \angle4)，所以(\angle1 + \angle3 = \angle2 + \angle4)，即(\angle BAE = \angle CAE)，所以(AE)平分(\angle BAC)，(5)也是正确的，所以本题答案选择(3)、(5)。有关角平分线的应用有很多经典的习题，我们一起来看一下。例一，如图，已知(\angle AOB = 90^{\circ})，(\angle BOC = 60^{\circ})，(OD)是(\angle AOC)的平分线，求(\angle BOD)的度数，请认真思考。
我们一起来看，(\angle BOD)可以看成是(\angle AOB)与(\angle AOD)的差，(\angle AOB)已知。(\angle AOD)，根据(OD)是角平分线可知(\angle AOD)是(\angle AOC)的(\frac{1}{2})，又因为(\angle AOC)是(\angle AOB)与(\angle BOC)的差，(\angle AOB)与(\angle BOC)已知。所以我们可以先求出(\angle AOC)的度数，再利用角平分线的定义求出(\angle AOD)的度数，最后用(\angle AOB)减(\angle AOD)得到(\angle BOD)的度数。具体的解答过程，我们一起来看一看。
先写解，先求(\angle AOC)，(\angle AOC = \angle AOB - \angle BOC = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ})。再根据角平分线的定义求(\angle AOD)的度数，因为(OD)是(\angle AOC)的平分线，所以(\angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOC = 15^{\circ})。最后(\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ})。本题我们是根据(\angle BOD = \angle AOB - \angle AOD)完成解答，核心问题是求(\angle AOD)的度数，大家还有其他解法吗？再想一想。
(\angle BOD)我们还可以看成是(\angle BOC)与(\angle COD)的和，(\angle BOC)已知，求(\angle COD)我们可以参考刚刚求(\angle AOD)的过程，很容易求得(\angle COD = 15^{\circ})，所以(\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 60^{\circ} + 15^{\circ} = 75^{\circ})。
接下来我们再来看例2。如图，已知(\angle DOE = 70^{\circ})，(\angle DOB = 40^{\circ})，(OD)平分(\angle AOB)，(OE)平分(\angle BOC)，求(\angle AOC)，请仔细想一想。
我们一起来看，(\angle AOC)是(\angle AOB)与(\angle BOC)的和，能不能分别求(\angle AOB)与(\angle BOC)的度数呢？由于(\angle DOB = 40^{\circ})，(OD)是(\angle AOB)的平分线，所以(\angle AOB)是(\angle DOB)的二倍。(OE)是(\angle BOC)的平分线，所以(\angle BOC)是(\angle BOE)的(2)倍。而(\angle BOE = \angle DOE - \angle DOB = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ})，所以(\angle BOC = 60^{\circ})，从而求得(\angle AOC)的度数。具体的解答过程我们一起来看一下。
解，由题意可知，(\angle BOE = \angle DOE - \angle DOB = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ})。接着利用角平分线的定义，分别求(\angle AOB)和(\angle BOC)的度数。因为(OD)平分(\angle AOB)，(OE)平分(\angle BOC)，所以(\angle AOB = 2\angle DOB = 2×40^{\circ} = 80^{\circ})，(\angle BOC = 2\angle BOE = 2×30^{\circ} = 60^{\circ})。所以(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 80^{\circ} + 60^{\circ} = 140^{\circ})。这里我们是把(\angle AOC)看成是(\angle AOB)与(\angle BOC)的和。