师：同学们好，本节课我们共同学习 6.1 节平方根立方根第三课时。前面两节课我们已学习平方根、算术平方根相关知识，现在一起回顾一下，什么是平方根？
生：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。
师：非常好，那如何表示呢？
生：用正负根号 a 来表示数 a 的平方根，根号 a 表示数 a 的算术平方根。
师：很棒，那算术平方根有哪些性质呢？
生：在前面学习中是分类讨论的，对于正数，它有两个平方根且互为相反数，0 的平方根是 0，负数没有平方根。
师：对，我们来稍加梳理。学习这类知识，先关注概念，即平方根的定义，接着学会表示方法，以及平方根的性质。基于这些知识，我们还学会运用平方根相关知识解决实际问题，这就是学习这类知识的一般方法。接下来看一下上一节课留下的一道思考题。小丽想用一块面积为 400 平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为 3 : 2，她是否能实现这一想法呢？请说明理由。要解决这个问题，我们先算出需求的这块长方形的长与宽分别是多少。题目中告知长宽之比为 3 : 2，为方便计算，不妨设该长方形纸片长为 3X 厘米，宽为 2X 厘米，且长方形面积是 300 平方厘米。所以根据题意，可以建立一个方程，3X 乘以 2X 等于 300，即 6X2 = 300，X2 = 50，这里的 x 算出来等于正负根号 50。但考虑到这是实际问题，长方形边长应为正数，所以负根号 50 舍去，x 取根号 50。那么这个长方形的长为 3 倍根号 50 厘米。已知正方形面积为 400 平方厘米，可知其边长为 20 厘米。而我们知道根号 50 大于根号 49，也就是说根号 50 大于 7，所以 3 倍根号 50 大于 21。通过比较会发现这一想法不能实现。同学们回答这个问题时，刚开始就要先回答不能实现，后面再规范写出理由。
今天这堂课我们先来看一个具体实际问题。如果要做一个容积为 64 立方分米的正方体木箱，它的棱长是多少呢？我们用 x 来表示棱长，也就是设正方体木块的棱长为 x 分米。根据立方体体积计算公式，得到 x3 = 64。这是一个知道一个数的立方求这个数的问题。为解决这个问题，我们需要学习一个新概念——立方根。同学们类比平方根的概念，想一想什么叫做立方根呢？
生：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫三次方根。例如 5 的三次方等于 125，5 就叫做 125 的立方根； -5 的三次方等于 -125， -5 就叫做 -125 的立方根。
师：非常好，大家能再举一些类似例子吗？同样类比平方根概念，想一想如何表示一个数的立方根呢？
生：对于一个数的立方根可以表示为三次根号 a，a 称为被开方数，读成三次根号 a，这里的 3 称为根指数。
师：没错，在平方根表示方法中，根指数 2 省略不写，但这里的根指数 3 千万不能省略。前面我们知道平方和开平方运算是互为逆运算，类比一下，立方的逆运算是什么呢？
生：是开立方。
师：对，求一个数的立方根的运算就叫做开立方，所以立方和开立方互为逆运算。现在能借助立方运算求出下列各数的立方根吗？先来看看 27，想一想，因为 3 的三次方等于 27，所以 27 的立方根是 3，还有其他数的三次方也等于 27 吗？
生：没有了，27 的立方根只有 3。
师：用符号可简化表示为三次根号 27 = 3。那第二个， -4 的 3 次方等于 -64，所以 -64 的立方根是多少？
生： -64 的立方根是 -4，用符号记为三次根号 -64 = -4。
师：很好，第三个是 0，因为 0 的 3 次方等于 0，所以 0 的立方根就是 0，用符号这样表示。现在你们来算算看下列这些数的立方根，可借助计算器，结果精确到 0.01。求立方根时，在计算器上依次输入相关按键，比如第二功能键立方根 2，等于就会显示结果 1.25992105，要求精确到 0.01，所以三次根号 2 约等于 1.26。有些计算器会有功能相同的转换键代替第二功能键。同学们按照刚才方法算一算下面几个数的立方根。
生：三次根号 7.797 约等于 1.98，三次根号 -17.456 约等于 -2.59，三次根号 137 / 398 约等于 0.70。
师：同学们，在计算器求平方根运算中，分数可输入为小括号 137 ÷ 398 小括号来实现，有的计算器可直接输入分数，大家自己探究一下，看看手上计算器如何输入。在刚才计算过程中，大家有没有感受到，每个数都找到了它的立方根，类比平方根性质，能不能归纳一下立方根的性质呢？同样进行分类探讨。
生：每一个正数，它的立方都是正数，反之，正数的立方根是正数，且只有一个；任何一个负数，它的立方都是负数，反之，负数的立方根是负数，只有一个；0 的立方根是 0。
师：非常好，有了这些知识，下面做几道练习题巩固一下。第一题，判断是非。3 是 -27 的立方根，对吗？
生：错误，因为 -27 的立方根是 -3。
师：64 的立方根是正负 4，对吗？
生：错误，64 的立方根是正 4，因为一个正数的立方根只有一个，正数的平方根有两个且互为相反数，不要混淆。
师：0 是 0 的立方根，对吗？
生：正确。
师：第二个问题，填表。上面给出数 a 的一些值，或者三次根号 a 的一些值，能填出对应数值吗？
生：1 的立方根是 1，8 的立方根是 2，27 的立方根是 3，64 的立方根是 4；若一个数的立方根是 5，这个数是 125，接下来分别是 216、343、512、729；如果数的立方根是 10，这个数是 1000。
师：很好，这些常见数和它对应的立方根，有兴趣不妨记一记。问题三，求下列各数的立方根，能快速口算出结果吗？三次根号 1 等于多少？