师：同学们好，今天这堂课我们共同来学习6.1节平方根、立方根第二课时。在上节课，我们已经学习了平方根、算术平方根的相关知识。现在，我们先一起来回顾一下平方根、算术平方根的概念。如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。正数a的正的平方根，称之为算术平方根。
对于平方根的性质，我们是分正数、0和负数来讨论的。一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个，就是0本身；负数没有平方根。因为我们把一个数的平方根中正的平方根称为算术平方根，所以正数仅有一个算术平方根，0的算术平方根仍然是0，负数没有算术平方根。
我们注意到，平方运算和开平方运算互为逆运算，所以我们可以借助平方运算来求一个数的平方根以及它的算术平方根。接下来，我们一起来看一下上一节课留下的三道思考题。
问题一：已知((x - 4)^2 + \sqrt{y + 16} = 0)，求(-xy)的平方根。在这个等式中有两个未知量x和y，直接求有困难。我们仔细观察((x - 4)^2)，任何一个数的平方都是非负数，即((x - 4)^2 \geq 0)。再看(\sqrt{y + 16})，这是一个数的算术平方根，用(\sqrt{a})表示算术平方根的话，被开方数(a \geq 0)，(\sqrt{a} \geq 0)。回到这个具体问题，(\sqrt{y + 16})也是非负数。
两个非负数的和等于0，只有当这两个数同时为0时等式才能成立。也就是说((x - 4)^2 = 0)，(\sqrt{y + 16} = 0)，所以(x - 4 = 0)，(y + 16 = 0)，解得(x = 4)，(y = -16)，那么(-xy = 64)。所以本题中(-xy)的平方根是(\pm 8)。
结合前面所学知识，我们知道一个数的平方是非负数，一个数的算术平方根是非负的，在七年级上学期我们还学习了绝对值的概念，任何一个数的绝对值也是非负的。如果这些数的和为0，那么其中每一个式子的值都应该为0，我们可以借助这个知识来解决类似问题。
问题二：一个正数的平方根为(x + 3)与(2x - 6)，求这个正数。因为任何一个正数的平方根都有两个，并且互为相反数，所以(x + 3)与(2x - 6)互为相反数，可表示为((x + 3) + (2x - 6) = 0)。这样就得到一个关于x的一元一次方程，解得(x = 1)。所以(x + 3 = 4)，(2x - 6 = -4)，即这个正数的平方根是(4)与(-4)。根据平方根的定义，可求出这个正数是16。
问题三：已知(2a - 1)的平方根是(\pm 3)，(3a + b - 1)的平方根为(\pm 4)，求(a + 2b)的平方根。根据平方根的定义，一个数的平方根是(\pm 3)，那么这个数是((\pm 3)^2)，即(2a - 1 = 9)；同理，(3a + b - 1 = 16)。这是关于a、b的两个方程。我们先由(2a - 1 = 9)解得(a = 5)，代入第二个方程求出(b = 2)，则(a + 2b = 9)，所以(a + 2b)的平方根应该为(\pm 3)。
师：(\sqrt{37})这个数，你们能算出它的结果吗？我们不妨先来看一下与它最接近的整数应该是多少。想一想，(6^2 = 36)，(7^2 = 49)，由此可见，(\sqrt{37})应该是大于6而小于7的，所以与其最接近的整数应该是6。那么我们有没有什么办法能够得到一个更为准确的结果呢？同学们课后可以动脑筋想一想。其实在公元前一世纪问世的我国著名经典数学著作《九章算术》里，就在世界数学史上第一次介绍了笔算开平方法，而国外直到公元5世纪才有对开平方法的介绍，可见中国古代数学在这方面的研究在世界上是遥遥领先的。而今天我们有计算器这个工具，就方便多了。
师：我们把数字稍作变化，同学们想一想，与(\sqrt{260})最接近的整数应该是多少？A选项15，B选项16，C选项17，D选项18。与刚才讨论的方法类似，我们想一想，(15^2 = 225)，(16^2 = 256)，(17^2 = 289)，(18^2 = 324)。我们注意到(\sqrt{260})应该是大于(\sqrt{256})，小于(\sqrt{289})的，也就是说(\sqrt{260})大于16，小于17，并且与其最接近的整数应该是16。同学们不妨在课后算一算，从11到19这些整数，它们的平方是多少，有兴趣的话不妨记住，在今后解决问题时会给我们带来一些方便。
师：那么你们会用计算器算出下列各式的值吗？精确到0.01。我们先来看(\sqrt{2})，在常用的科学计算器上，依次输入根号、2，再按等号键，就会显示结果1.414213562。根据题目的要求，精确到0.01，(\sqrt{2} \approx 1.41)。你们可以动手算算(\sqrt{2020})是多少，约等于44.94。
再来看(-\sqrt{0.876})，按照刚才的方法，先输入负号、根号、0.876，再按等号就能得到结果。对于(\sqrt{\frac{5}{7}})，我们在输入的时候可以将其转换成(5÷7)，所以在计算器上依次输入根号、小括号、5÷7、小括号、等号，得到(\sqrt{\frac{5}{7}} \approx 0.85)。由于各种类型计算器稍有不同，有些计算器上是可以直接输入(\frac{5}{7})的。下面同学们再自己动手算一算下列各式的值，结果精确到0.01。(\sqrt{75} \approx 8.66)，(-\sqrt{28.8} \approx -5.37)，(-\sqrt{8000} \approx -89.44)，算对了吗？有了计算器的帮助，我们可以很方便地解决一些实际问题。接下来看例3。
跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度动作，如果不考虑空气阻力等其他因素影响，弹跳到最高点后人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h之间遵循公式(h = \frac{1}{2}gt^2)，其中h的单位是米，时间t的单位是秒，g取(9.8)米/秒2。假设跳板的高度是3米，运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2米处开始下落，那么运动员下落到水面约需多长时间呢？我们想一想，跳板的高度加上运动员上跳的最大高度，就是运动员下落到水面的高度，(3 + 1.2)就是我们问题中的h，这是一个已知量，接下来我们需要求出t的值。所以我们设运动员下落到水面约需t秒。