师：同学们好，从本节课开始，我们将进入第八章“整式乘法与因式分解”的学习。在前面，我们已经学习了有理数的加减乘除、乘方和开方运算，还学习了整式的加减运算。这一章我们将进一步学习整式的乘除运算，而幂的运算是整式乘除的基础。这节课我们就一起来探究幂的运算性质——同底数幂的乘法。
通过今天这节课的学习，老师希望大家能有以下收获：一、能通过对具体实例的观察和思考，发现同底数幂的乘法的运算规律，并完成推导过程；二、能够说出同底数幂的乘法的运算性质；三、能熟练运用同底数幂的乘法运算性质进行计算，解决简单的实际问题；四、体会由特殊到一般再到特殊的探究问题的一般方法。请同学们准备好笔和作业本，下面开始今天的新课学习。
请看问题，我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行(2.57×10^{15})次运算。问它工作一小时（也就是(3.6×10^{3})秒），可进行多少次运算呢？请你认真思考，尝试列式计算。
生：想出来了。已知运算速度是每秒(2.57×10^{15})，运算时间是(3.6×10^{3})，用速度(2.57×10^{15})乘以时间(3.6×10^{3})，就可以求出运算的总次数。把(2.57)和(3.6)结合计算得(9.252)，(10^{15}×10^{3})，这里(10^{15})乘以(10^{3})，在之前的学习中我们并没有遇到过。
师：对，(10^{15})和(10^{3})是幂的形式，它们的底数都是(10)，我们把它叫做同底数幂。它们之间是用乘号连接的，是乘法运算，这就是我们今天要学习的同底数幂的乘法，它是幂的一种运算。下面我们就先来复习一下相关知识。求(n)个相同因数的积的运算叫做乘方，(n)个(a)相乘的结果记作(a^n)。例如(3)个(a)相乘等于(a^3)，(4)个(a)相乘等于(a^4)。乘方的结果(a^n)叫做幂，其中(a)叫底数，(n)叫指数。(n)个(a)相乘的结果记作(a^n)，反过来，(a^n)也可以表示为(n)个(a)相乘。例如，(a^3)可以表示为(3)个(a)相乘，(a^4)可以表示为(4)个(a)相乘。
下面我们就利用乘方的意义来探究同底数幂的乘法运算性质。我们先来看几个具体的例子，(a^4×a^3)。根据乘方的意义，我们将(a^4)表示为(4)个(a)相乘，(a^3)表示为(3)个(a)相乘。根据乘法结合律，等于(7)个(a)相乘，结果写成幂的形式就是(a^7)。你能用同样的方法完成下面几题吗？请你试一试。
生：做好了。
师：下面我们一起来看一下。(10^2×10^3)，等于两个(10)乘以三个(10)，也就是(5)个(10)相乘，等于(10^5)。当底数不是具体的数字，而是字母时，还可以这样做吗？我们来看(a^2×a^3)，根据乘方的意义，我们可以将(a^2)表示为两个(a)相乘，(a^3)表示为(3)个(a)相乘，这样一共有(5)个(a)相乘，结果写成幂的形式就是(a^5)。最后一题，(a^4×a^5)，等于(4)个(a)相乘乘以(5)个(a)相乘，也就是(9)个(a)相乘，结果是(a^9)。
根据上面的(4)个运算，我们可以得到下面(4)个等式。请你仔细观察这些同底数幂的乘法，计算前后的底数和指数有什么关系？我们先来看底数，相信你一定看出来了，计算前后底数没有发生变化，下面我们再来观察一下指数，你发现了吗？第一题的指数(4 + 3 = 7)，第二题和第三题的指数(2 + 3 = 5)，第四题的指数(4 + 5 = 9)。原来计算前的两个指数之和正好等于计算后的指数。
你发现同底数幂相乘有什么规律了吗？
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
师：对，如果我们用字母(a)来表示相同的底数，用正整数(m)、(n)来表示指数，那么同底数幂的乘法可以表示为(a^m×a^n)。刚才我们发现的规律就可以表示为(a^m×a^n = a^{m + n})。那你能类比刚才的运算过程，推导出这个规律吗？请你在作业本上试一试。
生：做好了。
师：来看一下你的过程，和老师的一样不一样。一般的，如果(m)、(n)都是正整数，那么由乘方的意义，我们可以将(a^m)写成(m)个(a)相乘，(a^n)写成(n)个(a)相乘。根据乘法结合律，等于(m + n)个(a)相乘，最后由乘方的意义把它写成幂的形式，等于(a^{m + n})。
在这里，我们利用乘方的意义和乘法结合律推导出了幂的运算性质——同底数幂的乘法(a^m×a^n = a^{m + n})（(m)、(n)都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。这种运算的形式是同底数幂相乘，运算的方法是底数不变，指数相加。如何运用这条性质进行计算呢？下面我们通过几个具体的例子来加深一下对运算性质的理解。
请你观察第一题，((\frac{1}{2})^5×(\frac{1}{2})^8)，这里幂的底数是什么？指数又是多少？是不是同底数幂的乘法呢？
生：这里的两个底数都是(\frac{1}{2})，所以它是同底数幂的乘法。它们的指数分别是(5)和(8)。
师：我们可以直接运用同底数幂的乘法运算性质，底数(\frac{1}{2})不变，指数(5)和(8)相加，等于((\frac{1}{2})^{13})。
第二题，(( - 2)^2×( - 2)^7)。它的两个底数都是(-2)，指数分别是(2)和(7)，也是同底数幂相乘，所以底数(-2)不变，指数(2)和(7)相加，等于(( - 2)^9)，它还能继续化简吗？
生：根据乘方的运算法则，负数的奇次乘方取负号，化简得(-2^9)。
师：这里有一点需要注意的地方，当底数是分数或负数时，底数作为一个整体要加上括号。下面我们来看第(3)小题，(a^2×a^3×a^6)，同学们，你发现了什么？
生：这里有(3)个同底数幂。
师：还能用同底数幂的乘法运算性质进行计算吗？请你想一想。
生：可以利用乘法结合率先计算(a^2×a^3)，底数不变，指数相加等于(a^{2 + 3})次方。接着再算(a^{2 + 3}×a^6)，底数(a)不变，指数相加等于(a^{2 + 3 + 6})次方，等于(a^{11})次方，这里也可以看成底数(a)不变，三个指数直接相加。