师：各位同学大家好，这节课我将带领大家一起对第九章分式进行小结与评价。在第九章，我们学习了分式的性质，利用该性质可以进行约分、通分；还学习了分式的运算，包括乘除法、加减法以及混合运算；另外，我们也学习了分式方程以及如何列分式方程解决实际问题。我们首先来看分式的定义。形如$\frac{a}{b}$，$a$、$b$为整式，且$b$中含有字母的式子叫做分式。整式和分式统称为有理式。因为$0$不能做分母，所以分式有意义的条件是分母$b\neq0$。那么，如果一个分式值为$0$，分子分母应该满足什么条件呢？首先，分式要有意义，所以分母$b$不能等于$0$；又因为分式值为$0$，所以分子$a$等于$0$。因此，分式值为$0$的条件是$a = 0$，且$b\neq0$。那分子分母满足什么条件时，分式值为正呢？
我们知道两数相除，同号得正，所以分式值为正的条件是$a$、$b$同号，即$a\gt0$，$b\gt0$，或者$a\lt0$，$b\lt0$。同样的，两数相除，异号得负，所以分式值为负的条件是分子分母$a$、$b$异号，即$a\gt0$，$b\lt0$，或者$a\lt0$，$b\gt0$。
我们一起来看巩固练习的第一题。下列代数式中哪些是分式？我们可以看到第一个式子不符合$\frac{a}{b}$这个条件，所以它显然不是分式。剩下的三个式子都符合$\frac{a}{b}$的形式，那它们都是分式吗？这时我们还要看分子分母是否都是整式，并且分母中是否有字母。这样就会发现第三个式子中的分母不含有字母，所以第三个式子不是分式。因此，第二个和第四个式子是分式。我们判断一个代数式是否是分式，要注意三点：一看外形是否形如$\frac{a}{b}$；二看分子分母是否是整式；三看分母中是否含有字母。
我们再来看第二小题。某家庭每天需用大米$m$千克，家中存有$x$天的用米量，如果每天少用$n$千克大米，那么存有的大米能用多少天？在这个问题中，我们首先要搞清楚两个量，分别是家中的存米量以及现在每天的用米量。因为每天需用大米$m$千克，家中存有$x$天的用米量，所以家中存米量为$mx$千克。又因为现在每天少用$n$千克大米，所以现在每天用米量为$(m - n)$千克。那么存有的大米能用的天数就是用家中存米量除以现在每天的用米量，即$\frac{mx}{m - n}$天。
再来看第2小题，$x$取何值时，分式$\frac{1}{x + 4}$有意义？我们知道分式有意义的条件是分母不等于$0$，所以$x + 4\neq0$，可以求得$x\neq - 4$。第三小题，$x$取何值时，分式$\frac{2x}{2 - x}$的值为$0$？分子为$0$，而分母不为$0$时分式值为$0$。所以我们得到$2x = 0$，且$2 - x\neq0$，求得$x = 0$。再看最后一小题，当$x$取何值时，分式$\frac{1}{3 + x}$的值是负数？分式值为负的条件是分子分母异号，这里的分子$1$为正数，所以$3 + x$应该为负数，即$3 + x\lt0$，解得$x\lt - 3$。我们再来看分式的性质，就是分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于$0$的整式，分式的值不变。比如这里的第一个式子的分子分母同乘以不等于$0$的整式$m$，它的分式值仍然等于$\frac{a}{b}$；第二个式子的分子分母同除以不等于$0$的整式$m$，它的值仍然等于$\frac{a}{b}$。
利用分式的基本性质，我们可以约分。根据分式基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去叫做分式的约分。我们把分子与分母只有公因式$1$的分式叫做最简分式，而约分通常就是把分式化成最简分式或者整式。我们来看巩固练习第3题，化简第一小题。先进行分子分母中的幂的乘方运算，再将分子分母的系数$\frac{1}{4}$和$9$相除，得到$\frac{1}{36}$。再将分子分母中的同底数幂进行乘法运算，得到分子为$a^{2}b^{-2}$，分母为$a^{4}b^{-4}$。这时候我们可以约分，通过约分得到结果是$\frac{1}{36a^{2}b^{-2}}$，我们还需将它化简，将这里的负指数幂进行转化，所以最后的结果是$\frac{b^{2}}{36a^{2}}$。
再来看第二小题。首先我们观察一下这个式子，会发现分子、分母都是多项式，所以第一步要将分子、分母分别进行分解因式。先看分母中的$x^{2} - 2xz + z^{2}$可以构成完全平方公式，再和$-y^{2}$构成平方差公式。分子的情况相同，所以我们可以将它稍作变形，转化成这样的形式，再将分子、分母分别写成$(x + y)^{2} - z^{2}$的形式，而分母是$(x - z)^{2} - y^{2}$的形式。现在分子分母可以进行分解因式，分解因式之后的结果我们再观察会发现有公因式，我们将公因式约去，最后的结果就是$\frac{x + y + z}{x - y - z}$。
同学们，我们在进行约分的时候有一些注意事项。第一，当分子分母是多项式的时候，一定要先分解因式。第二，完成约分之后，一定要检查结果是否是最简分式或整式，约分一定要彻底。我们再来看分式的运算，分式的乘除，两个分式相乘，用分子的积做积的分子，用分母的积做积的分母。比如$\frac{a}{b}×\frac{c}{d}$，我们只要将它的分子、分母分别相乘即可得到结果是$\frac{ac}{bd}$。两个分式相除，将除式的分子分母颠倒位置后与被除数相乘。比如说$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}$，就可以写成$\frac{a}{b}×\frac{d}{c}$，也就将除法运算转化为乘法运算，再进行分式的乘法运算，也就是分子、分母分别相乘，所以得到结果是$\frac{ad}{bc}$。分式的乘方，分式乘方就是把分子、分母分别乘方，比如$(\frac{a}{b})^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}$。分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。比如$\frac{a}{b}±\frac{c}{b}=\frac{a ± c}{b}$。异分母的分式相加减，先通分变为同分母的分式后再加减。所谓的通分就是根据分式的基本性质，化异分母的分式为同分母分式的过程叫做分式的通分。比如$\frac{b}{a}±\frac{d}{c}$，进行通分可以得到$\frac{bc}{ac}±\frac{ad}{ac}$，转化成两个同分母的分式相加减，再进行同分母分式的加减运算，得到结果是$\frac{bc ± ad}{ac}$。
我们在做异分母分式加减运算时，其关键步骤就是通分，而通分的第一步就是找最简公分母，取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。在找最简公分母时，我们有两个注意事项，请同学们一定要注意。第一，若各分母的系数都是整数，通常取它们的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数。第二，当分母是多项式时，一般应先分解因式。当我们遇到分式的加、减、乘、除等混合运算时，一定要注意运算顺序是先乘方，再乘除后加减。如果有括号，先进行括号里的运算。我们一起来看巩固练习第4题，第一小题。