师：同学们，大家好。在过去几天，我们共同学习了第七章一元一次不等式及不等式组，了解了不等式及等式的性质，探究了如何求一元一次不等式及不等式组的解集，并利用相关知识解决了一些简单的实际问题。老师想问同学们，在学习过程中，是不是经常会不经意联想起另一个数学知识——等式与方程？不等式和等式就像生活中的双胞胎，既有很多相似之处，又有很大区别。今天这节课，我们将从基本概念、核心原理、技能运用和思想方法这四个方面，共同复习和整理第七章所学的知识、技能与方法。
首先看基本概念。已知这是一个关于(x)的一元一次不等式，那么(m)的值是多少呢？同学们可以先思考一下。在这道题里，一元一次不等式是关键条件。什么是一元一次不等式呢？含有一个未知数，并且未知数的次数是(1)的不等式，叫做一元一次不等式。依据这个定义，把题目中的相关条件转化为数学语言，就能得到相应关系式，进而求出(m)的值等于(2)。所以例一的答案就是(m = 2)。
请同学们回忆一下，等式中有没有哪个概念与一元一次不等式的概念很接近呢？对，就是一元一次方程。两个定义只是描述对象不同，一个是不等式，一个是方程。除此之外，不等式与等式的定义虽仅一字之差，但实质相去甚远。我们还可以比较解的定义，不等式的解集指能使不等式成立的未知数的值，而方程的解指能使方程两边相等的未知数的值。由于不等式的特性，其解往往不止一个，更多时候有无数个解，所以在不等式中就多了“解集”这个概念。
不等式与方程的定义在描述上高度相似，但本质区别很大。类似的情况还有一元一次不等式组和二元一次方程组。所以同学们复习时，不妨像老师这样，结合等式与方程的相关知识进行比较，这样能更好地理解不等式中那些既相似又有区别的基本概念。毕竟等式大家更熟悉、更容易理解，在这个学习过程中，其实蕴含着一种重要的数学思想——类比联想，在同学们今后的学习中还会用到。
下面看第二个方面——核心原理。看例(2)，下列不等式的变形中，不正确的是哪一项？这道题明确考查不等式的性质，(A)、(B)、(C)、(D)四个选项中，哪个不正确呢？我们逐一分析。
选项(A)，由(a > b)，得(a - b > 0)。同学们肯定想到了移项原理，它依据的是不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变。由(a > b)，在不等式两边同时减去(b)，左侧得到(a - b)，右侧(b - b = 0)，所以(a - b > 0)，选项(A)正确。
选项(B)，由(-a > -b)得(a < b)。根据不等式性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变。在(-a > -b)两边同时乘以(-1)，不等号方向改变，所以选项(B)也正确。
再看选项(C)，若(-ax > a)，则(x < -1)。这里不等式两边同时除以(-a)，不等号方向发生了改变。但这里的(-a)一定是负数吗？当(a)是正数时，(-a)是负数，不等式两边同时除以(-a)，不等号方向要改变；但如果(a)本身是负数，(-a)就是正数，此时不等式两边同时除以(-a)，不等号方向不变。所以选项(C)错误。
那么选项(C)应该怎么表达呢？由(-ax > a)，当(a > 0)时，得(x < -1)；当(a < 0)时，得(x > -1)。因为这里是对不等式两边同时除以一个代数式(-a)，所以需要对(-a)的正负性分正数和负数两种情况分别考虑。
接下来看选项(D)，由(-\frac{1}{2}a < b)，则(a > -2b)。这是在不等式两边同时乘以(-2)，不等号方向需要改变，所以选项(D)正确。例(2)的答案就是(C)。
要正确解答例(2)，就必须深刻理解不等式的性质。等式也有等式的性质，比较不等式和等式的性质，会发现它们很相似，尤其是最后两条。但细心的同学会发现，不等式的性质多了一条：在不等式两边同时乘以或除以同一个数时，需要确定这个数的正负性，因为它直接影响不等号方向是否改变。这就产生一个问题，同学们解题时，如果要对不等式左右两边同时乘以或除以同一个字母或代数式，必须确定这个字母或代数式的正负性；不能确定时，就必须进行分类讨论，这是数学中一个重要的数学思想，就像例(2)选项(C)那样。
学习了不等式的性质，就可以运用它求一元一次不等式的解集。接下来看例(3)，解这个不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。同学们先回忆一下，解一元一次不等式需要经历哪些基本步骤呢？不等式中有分母时，首先要去分母，怎么操作呢？在不等式两边同时乘以分母的最小公倍数。这个不等式分母最小公倍数是(6)，去分母后得到新的不等式。请同学们注意，这里的每一项都不要漏乘。去分母后，不等式出现括号，接下来需要去括号。
再往下可以进行移项，一般习惯把含有未知数的项放在不等式左侧，常数项放在右侧，这样就得到(4x + 3x > 3 + 6 - 2)。这样做是为了方便进行第四步——合并同类项。最后系数化为(1)，两边同时除以(7)得到(x > 1)。我们将这个解集在数轴上表示出来，注意，由于不等式解集是(x > 1)，解集中不包含(1)这个数，所以画图时使用空心点。
同学们有没有发现，解不等式所经历的基本步骤——去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为(1)，与解方程的基本步骤一模一样，唯一区别是依据的原理不同。既然能求一元一次不等式的解集，同样也能求一元一次不等式组的解集，有了这个能力，就可以运用不等式的相关知识解决一些简单的实际问题。
同学们，接下来看例(4)。为缓解停车矛盾，某小区投资(3)万元建成若干个停车位，建造费用分别为室内车位(1500)元每个，露天车位(300)元每个。考虑实际因素，露天车位数量不少于(12)个，但不超过室内车位的两倍。该小区两种车位各建成多少个？试写出所有可能的方案。请同学们先仔细读题，认真审视题目中的条件、信息以及最终要解决的问题，思考如何解题，下面我们一起分析。
这道题题干提供了两个重要信息，一是投资(3)万元建成若干停车位，分为室内车位和露天车位；二是露天车位数量不少于(12)个，但不超过室内车位的两倍。第二个信息中，“不少于”“不超过”是典型的不等关系词，意味着要用不等式知识解题。
设室内车位有(x)个，那么露天车位数量怎么表示呢？根据投资(3)万元建成若干停车位，用(3)万元减去室内车位的建造总费用，再除以每个露天车位的建造费用，就能得到露天车位数量，即(\frac{30000 - 1500x}{300})，化简后为(100 - 5x)。
再利用露天车位数量的限制条件，得到不等式组，解这个不等式组得出(x)的取值范围是(\frac{100}{7} \leq x \leq \frac{88}{5})。因为(x)表示室内车位数量，只能取整数，在这个范围内，(x)可取(15)、(16)、(17)这三个整数。把(x)的取值代入(100 - 5x)，就能求出对应的露天车位数量。
这道题一共有三种方案，可以用表格形式回答：室内车位数量为(15)个时，露天车位有(25)个；室内车位数量为(16)个时，露天车位有(20)个；室内车位数量为(17)个时，露天车位有(15)个。
接下来看第四个方面——思想方法。例，关于(x)的不等式组，所有整数解的和是(-3)，求其取值范围。同学们先思考一下，看看能否找到解题思路。这道题关键条件是所有整数解的和是(-3)，且题目给出一个不等式组，我们先将不等式组里的两个不等式分别求解，找到它们的解集，解这两个不等式得到(x \geq -2)和(x < \frac{b}{3})。接下来该怎么做呢？之前学习过用数轴表示不等式组的解集，我们试试在数轴上表示这个不等式组的解集。老师画了一条数轴，先在数轴上表示出(x \geq -2)这个解集，然后考虑表示(\frac{b}{3})的点位置。
试想，如果表示(\frac{b}{3})的点在表示(-2)的点左侧，那么这个不等式组的解集是空集，不满足所有整数解的和是(-3)的条件，所以表示(\frac{b}{3})的点一定在右侧。那(\frac{b}{3})到底在哪里呢？我们逐一分析。
如果表示(\frac{b}{3})的点在表示(-2)和(-1)的点之间，即(\frac{b}{3})在(-2)到(-1)之间，这个不等式组的解集是这样，其整数解只有(-2)，不满足所有整数解的和是(-3)的条件。
再考虑如果(\frac{b}{3})在(-1)到(0)之间，不等式组的解集是这种情况，其整数解有(-2)和(-1)，它们的和正好是(-3)。但再往右边下一个表示整数的点是(0)，(-2)、(-1)和(0)的和还是(-3)，说明(\frac{b}{3})还有可能在(0)到(1)之间。
结合这两段分析，(\frac{b}{3})应该在(-1)到(1)之间。那(\frac{b}{3})会不会比(1)还大呢？当表示(\frac{b}{3})的点出现在表示(1)的点右侧时，不等式组的解集是这样，此时满足不等式组的整数解会多出(1)，所有整数解的和就不是(-3)了，所以(\frac{b}{3})的取值范围确定在(-1)到(1)之间。
但我们还需考虑(\frac{b}{3})可不可以等于(-1)或者(1)。结合刚才分析，如果(\frac{b}{3} = -1)，(x < \frac{b}{3})即(x < -1)，不等式组整数解只剩(-2)；如果(\frac{b}{3} = 1)，不等式组解集是这样，满足解集的整数解是(-2)，(-1)和(0)，依然满足条件，所以(\frac{b}{3})可以等于(1)。
经过分析，最终确定(\frac{b}{3})的取值范围是(-1 < \frac{b}{3} \leq 1)，进一步求出(b)的取值范围是(-3 < b \leq 3)。
在这道题的分析求解过程中，数轴发挥了重要作用。这种利用图形帮助我们分析和解决问题的思想方法，叫数形结合。另外，我们在分析(\frac{b}{3})取值范围时，通过关注每一个特殊整数解来验证取值范围是否满足条件，这又是特殊与一般的思想。
在整个第七章，我们接触到四种不同的数学思想，除了这里的数形结合、特殊与一般，还有前面提到的分类讨论以及类比联想。
接下来回顾一下今天的学习过程，我们从四个方面对第七章一元一次不等式组进行了复习和整理。在基本概念中，回顾了不等式、不等式的解集、一元一次不等式及不等式组的定义；在核心原理中，回顾了不等式的性质；在技能运用方面，运用不等式性质解一元一次不等式及不等式组，利用数轴确定一元一次不等式组的解集，并运用不等式及不等式组知识解决了简单实际问题；最后总结了四种重要数学思想：数形结合、特殊与一般、分类讨论以及类比联想。
我们今天的学习就到这里。