师：同学们，大家好。从今天开始，我们将学习 7.3 一元一次不等式组。上一节我们已经学了一元一次不等式的知识，你们还记得什么叫一元一次不等式吗？
生：只含有一个未知数，未知数的次数是一，且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
师：那么解一元一次不等式的步骤是什么呢？和解一元一次方程类似，它一般有这样五个步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一。今天我们要学习的一元一次不等式组，和上一课时一元一次不等式只有一字之差，它们之间又有什么样的区别和联系呢？那就和老师一起开始今天的新知探究吧。我们来看这样一个问题，小丽带 5 元钱到超市买作业本，她拿了 5 本，付款时钱不够，于是小丽退掉一本，收银员找给她一些零钱。请同学们在审完题以后思考一下，题目中所提到的“付款时钱不够”以及“收银员找给她一些零钱”这两句话，透露了什么样的数学信息呢？
生：“付款时钱不够”说明 5 本作业本总价超出了 5 元钱；“收银员找给她一些零钱”说明 4 本作业本的总价少于 5 元钱。
师：对了，这里“超出”“少于”就是非常明显的不等关系。那么这道题我们可以设作业本的单价为 x 元，5 本作业本的价格为 5x 元。根据刚刚的分析，钱不够，说明 5x 大于 5。后来小丽退掉了一本，买了 4 本作业本，价格为 4x 元，根据收银员找给她零钱，可得 4x 小于 5。这里我们从题目中找到了两个一元一次不等式，题目的问题是作业本单价约是多少元，那么这个 x 应该同时满足上述两个不等式。于是我们把这两个不等式合写在一起，并用括号括起来，这样就得到了一个不等式组。好的，我们再来看一下问题二。某村种植杂交水稻 8 公顷，去年的总产量是 94800 千克。今年改进了耕作技术，估计总产量比去年增产 2%到 4%（包括 2%和 4%）。那么今年水稻平均每公顷的产量将会在什么范围内呢？同学们审完题后，来看题目中“增产 2%到 4%，包括 2%和 4%”这个条件。同学们在现实生活中应该也见过这样的表示，其实它表示的是增产的范围，意思是今年总产量比去年最少增产 2%，最多增产 4%。分析好这句话，同学们应该也感受到了，“最少”“最多”就是明显的不等关系。问题是今年水稻平均每公顷的产量将会在什么范围内，我们需要根据题意将今年总产量表示好。因为今年总产量比去年最少增产 2%，增产 2%的部分是 94800×2%，那么今年总产量最少就是 94800×(1 + 2%)；比去年增长 4%的部分是 94800×4%，那么今年总产量最多就是 94800×(1 + 4%)。那我们今年的总产量应该如何用含有未知数的式子来表示呢？
生：可以设今年水稻平均每公顷的产量为 x 千克，那么今年水稻的总产量就为 8x 千克。
师：对，根据题意可以得到今年水稻总产量 8x 应该大于等于 94800×(1 + 2%)，因为这是它的最少值；同时总产量 8x 还应该小于等于 94800×(1 + 4%)。我们的 x 应该同时满足这两个不等式，于是将这两个不等式写在一起，并用一个大括号括起来，这样也能得到一个不等式组。同学们请看这两道问题，我们得到了这样两个不等式组，大家观察一下，这两个不等式组有什么样的特征呢？
生：这两个不等式组中所含有的都是一元一次不等式，而且这些一元一次不等式都是含有同一个未知数。
师：非常好，于是我们这样下一个定义：像上面这样，由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。这就是我们今天要认识的新内容——一元一次不等式组。在这个定义中有几点需要大家注意，不等式组中每个不等式都必须为一元一次不等式，且不等式必须是只含有同一个未知数。那么定义中提到的“几个”是指什么呢？它是指不等式组中一元一次不等式的数量，如果实际条件当中限制更多，这些不等式的数量还可以更多，但至少是两个。好的同学们，我们已经认识了一元一次不等式组，了解了它的定义。接下去我们来看一看该怎么解一元一次不等式组呢？讲到组的解法，同学们是不是会想起上学期我们曾经学过二元一次方程组的解法，还记得二元一次方程组是怎么解的吗？
生：当时我们利用消元，使用加减消元法或者代入消元法，将二元一次方程组变成一元一次方程去解决。
师：那你们觉得我们今天也可以用这样的方法来解一元一次不等式组吗？
生：不可以，因为一元一次不等式组每一个不等式只含有相同的未知数，再进行消元，未知数就不见了。
师：没错，那一元一次不等式组到底该怎么解呢？别着急，我们就以小丽购买作业本这道题为例，带着大家一起来解。我们刚刚分析作业本的单价 x 应该同时满足这两个不等式，得到了这样一个一元一次不等式组。我们首先将不等式组中每一个不等式标号，然后分别解每一个不等式。1 号不等式左右两边同时除以 5，解不等式一得，它的解集是 x 大于 1。不等式 2 左右两边同时除以 4，解不等式 2 得 x 小于 1.25。是不是做到这里，一元一次不等式组就解好了呢？还没有，同学们不要着急，我们的 x 应该既满足大于 1，同时又满足小于 1.25，这样的 x 该怎么表示呢？我们可以请出我们的好帮手——数轴。我们将两个不等式的解集分别表示在数轴上，这是 x 大于 1，再找到 1.25 的位置，空心圆圈向左，这就是 x 小于 1.25。我们要找的数 x 应该既大于 1 又小于 1.25，这样的数在哪里呢？
生：从数轴上可以清晰直观地得到 x 在这两者之间。
师：对，所以我们就找到这两个不等式解集的公共部分，就是我们要找的一元一次不等式组的解集了。最后别忘了写出原不等式组的解集为 1 < x < 1.25，这样我们就解好了这个一元一次不等式组。原来这几个一元一次不等式解集的公共部分，就叫做这个一元一次不等式组的解集。刚刚老师所写的求一元一次不等式组解集的过程就叫做解不等式组。同学们，现在知道一元一次不等式组该怎么解了吗？如果还没有看明白，没关系，老师再来为大家演示一道例题。请看例一，解不等式组：2x + 3 > 0，3 + x < 3x - 1。根据定义，这也是一元一次不等式组。我们要找的 x 要同时满足这两个不等关系，我们就先解这两个一元一次不等式。先标号，解不等式一得，这个不等式需要移项、系数化为一，这些过程我们都可以在草稿纸上完成，因为上一节大家已经熟练地掌握了解一元一次不等式，只需要把解集的结果写在这里。接着再解不等式 2，也需要移项、合并同类项、系数化为一，解不等式 2 得 x 大于 2。我们分别解好这两个不等式，最终要找的 x 应该同时满足这两个不等式的解集，也就是 x 既要大于 -1.5，又要大于 2。为了让大家更好地去寻找解集部分，我们请出数轴，在数轴上分别表示这两个不等式的解集。第一个 x 大于 -1.5，第二个 x 大于 2。从数轴上大家能清晰地看到，同时满足这两个解集的 x 应该明显是大于 2 的部分。最后别忘了要写出所以原不等式组的解集为 x 大于 2。同学们，老师已经为你们展示了小丽购买作业本的不等式组解法和这道例一，现在能够参照这两道题回忆一下解一元一次不等式组，它的步骤有哪些呢？
生：先找出每一个不等式的解集，然后在数轴上分别表示这两个不等式的解集，注意寻找它们的公共部分，最后写出原不等式组的解集。
师：非常好，所以我们可以归纳解一元一次不等式组的一般步骤如下：第一，分别求出不等式组中各个不等式的解集；第二，利用数轴找出这些不等式解集的公共部分；第三，根据几个不等式解集的公共部分写出这个不等式组的解集。同学们，这就是解一元一次不等式组的过程，学会了吗？接下来就可以利用我们刚刚总结的解一元一次不等式组的一般步骤来求解一元一次不等式组了，大家自己动手来做做看。练习一，解不等式组：5x - 2 > 7x - 4，第二个不等式是 -2x > 2。
生：解不等式一得 x < 1，解不等式二得 x < -1。
师：在不等式求解的过程中，有可能会用到不等式基本性质三，不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，同学们在做的时候一定要细心。接下去按照我们刚刚讲的步骤，应该要在数轴上画出这两个不等式的解集。老师也将这两个不等式的解集表示好了。从数轴上可以直观地看到，x 既要小于 1，同时又要小于 -1， -1 本身就小于 1，它的公共部分就应该是 x 小于 -1。最后，千万别忘了解出所以原不等式组的解集是 x 小于 -1。好的，练习一大家做得怎么样呢？做得不对也没有关系，毕竟这才是第一道练习题。同学们，再来看看老师为你们准备的练习二，解不等式组：2x - 1 ≤ x + 1，x + 8 < 4x + 1。
生：解不等式一得 x ≤ 2，解不等式二得 x > 7 / 3。
师：现在请同学们跟上老师的节奏，在数轴上表示出这两个不等式解集，看看有没有什么和之前不一样的发现。
生：（表示好后）找不到这两个不等式解集的公共部分。
师：对，找不到就对了，因为根本不可能找到这样一个数 x，它既是小于等于 2 的，同时又是大于 7 / 3 的，所以这两个不等式解集根本就没有公共部分。说到这，是不是同学们有一些疑惑，老师明明说所有不等式解集的公共部分才是一元一次不等式组的解集，像这样找不到公共部分怎么办呢？没关系，既然找不到这样一个 x 同时满足这两个不等式，那么我们就说原不等式组无解。这种情况同学们也不陌生，因为我们在二元一次方程组最终解的情形当中曾经归纳过，二元一次方程组有可能有唯一组解，也有可能有无数组解，还有可能无解。所以这道题最终找不到一个 x 同时满足这两个不等式，我们就称这样的原不等式组无解。做到这，同学们应该感觉到一元一次不等式组最终解集的情形可能有很多种，那大家再来做做练习三。相信通过前面的讲解，同学们肯定能很好地完成。解不等式一得 x > -2 / 5，解不等式二得 x < -5 / 13。接下去我们将两个不等式的解集在数轴上表示出来。这道题，老师建议大家将数轴中一个单位长度表示得小一些，这样就可以方便地表示出 -2 / 5 第一个解集和 -5 / 13 第二个解集。这道题最终不等式组的解集是什么样呢？
生：明显它们的公共部分是两者之间，所以原不等式组的解集为 -2 / 5 < x < -5 / 13。
师：这道题同学们做对了吗？好，同学们，今天的新课就先上到这了。现在请大家回忆一下，还记得这节课一开始的时候，老师是通过小丽购买作业本和水稻种植两个实际问题引入的一元一次不等式组吗？小丽购买作业本的这道一元一次不等式组老师已经解好了，那么水稻种植这个一元一次不等式组，同学们能不能利用今天自己学的知识动手来解解看呢？
生：（解好后）这个不等式组的解集应该为 12087 ≤ x ≤ 12324。
师：做得不正确或者还没有来得及完成的同学也不要着急，课下你可以经过复习，然后再将自己的困惑请教一下老师或者同学。今天的课就上到这了，我们将今天的内容一起来回顾一下吧。今天这节课我们先由两个实际问题，引入了一元一次不等式组，认识了一元一次不等式组的概念，接着学会解一元一次不等式组，寻找一元一次不等式组的解集。一般它会有这样三个步骤：解不等式组中每个不等式，然后在数轴上分别表示各个不等式的解集，最后利用解集的公共部分确定不等式组的解集。同学们，这些是我们今天这节课数学内容的收获，那么在数学思想和数学方法上还有没有一些其他的收获呢？
生：今天在解一元一次不等式组的时候利用了数轴，这里运用了数形结合的数学思想；讲一元一次不等式组解法的时候，对比了二元一次方程组的解法，这是类比的数学方法。
师：非常好，著名的数学家华罗庚曾经说过，“数形结合百般好”，所以以后大家可以常常利用数形结合来解题。希望同学们每节课都能有数学知识、数学思想和数学方法的多重收获。要想将知识掌握得更牢固，别忘了课后要进行适当的练习。今天的作业：课本第 35 页练习一、二，课本第 41 页 A 组复习题第 4 题。好的同学们，我们今天的课就结束了，同学们，再见。